topoloji-hicbiseyin kesisimi neden tüm uzay?

Question

https://youtu.be/XHKcrs8YaSo?t=18m54s bu civarlarda izlerken hoca $A_\alpha$lar açık oldugu surece $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in J}A_\alpha$ tüm uzaya eşit olur diyor eger yanlıs anlamadıysam.ve acıklamasında bu kesisimde ne kadar az sey kesıstırırsek o kadar buyuk bır parcamız oldugunu soyluyor bu cok mantıklı ama eger hıcbırsey kesısmıyorsa bu neden tum uzaya es olsunkı? ornegın $K$ tum $A_\alpha$ ların herturlu bılesımınden buyuk olsun o zaman zaten $\displaystyle\bigcap_{\alpha\in J}A_\alpha$   $\cap$   $K$ kümesi $J=\emptyset$ iken zaten istedigimizi verir (daha buyuk parca mantıgı) buradakı olayı nasıl anlamalı

Answer 1

Öncelikle $E$ herhangi bir küme ve  $$\mathcal{A}=\{A_{\alpha}|\alpha\in J\}\subseteq \mathcal{P}(E)$$ olmak üzere $\mathcal{A}$ ailesinin kesişimi ve birleşiminin aşağıdaki gibi tanımlandığını hatırlayalım.

$$\bigcap\mathcal{A}=\bigcap_{\alpha\in J} A_{\alpha}:=\{x|(\forall \alpha\in J)(x\in A_{\alpha}\}=\{x| \alpha\in J\Rightarrow x\in A_{\alpha}\}$$

$$\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\alpha\in J} A_{\alpha}:=\{x|(\exists\alpha\in J)(x\in A_{\alpha})\}$$

Şimdi de indis kümesini boş alalım. Yani $J=\emptyset$ olsun.

$$\bigcap_{\alpha\in \emptyset} A_{\alpha}:=\{x|\underset{1}{\underbrace{\underset{0}{\underbrace{\alpha\in \emptyset}}\Rightarrow \underset{p(x)}{\underbrace{x\in A_{\alpha}}}}}\}=E$$

ve

$$\bigcup_{\alpha\in \emptyset} A_{\alpha}:=\{x|\underset{0}{\underbrace{\underset{0}{\underbrace{(\exists \alpha\in\emptyset)}}\underset{p(x)}{\underbrace{(x\in A_{\alpha})}}}}\}=\emptyset$$ olur. Bir de şu ilaveyi yapayım.

Küme denince bir $p(x)$ açık önermesini doğru kılan nesnelerin oluşturduğu bir topluluk aklımıza gelir ve

$$A=\{x|p(x)\}$$ şeklinde ifade ederiz. Bir $a$ nesnesinin bu $A$ kümesine ait olması ise $p(x)$ açık önermesindeki değişkenin yerine $a$ nesnesi geldiğinde elde edilen önermenin doğru olması şeklinde ifade edilir. Yani

$$a\in\{x|p(x)\}\Leftrightarrow p(a)\equiv 1$$

Benzer şekilde bir $a$ nesnesinin bu $A$ kümesine ait olmaması ise $p(x)$ açık önermesindeki değişkenin yerine $a$ nesnesi geldiğinde elde edilen önermenin yanlış olması şeklinde ifade edilir. Yani

$$a\notin\{x|p(x)\}\Leftrightarrow p(a)\equiv 0$$

Bu açıklamalar ışığında boş ailenin arakesitinin neden $E$ ve boş ailenin birleşiminin neden $\emptyset$ olduğu sanırım daha da netleşti.