Question

$Q_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+x+1$ polinomunu hangi asal $p$'ler icin  $\mathbb{F}_2$ uzerinde indirgenemezdir.

Ek bilgi: Bunlar siklotomik polinomlar olarak geciyor. $\mathbb{Q}$ uzerinde indirgenemezdir. $Q(x+1)$'e $p$ asali ile Eisenstein uygulanip gosterilebilir, ispati da kolay.

Comments

Bu soru "Finite Fields- Rudolf Lidl-2.chapter-exercise 2-56"da ilk 10 asal sayiyi bulun olarak geciyor. Yani hepsini bulmanizi beklemiyorum ama herkes bir yontem koyarsa, cogu bulunabilir. Basit ama onemli bir soru.

---

Sercan bey merhaba,

$\mathbb F_2[x]$ gösterimi, en çok ikinci dereceden olan polinomların halkasını mı temsil ediyor? Ve burada $\mathbb F$ herhangi bir cisim sanırım.

---

$p$ asal ve $n$ pozitif tam sayı olmak üzere $\mathbb F_{p^n}$ notasyonu ile $p^n$ elemanlı sonlu cismi imgeleriz. Bir cismin (başka bir yapı da olabilir) yanına $[x]$ koyarsak katsayaları o cisimden gelen tüm polinomların halkasınını imgelemiş oluruz.

---

Peki $\mathbb Z_2[x]$ aralarak problemi incelersem genel çözüme bir zararı var mıdır? (Zararı varsa bir asal için siz çözüm verebilirseniz çözüm mekanizmasının nasıl işlediğini göstermiş olursunuz, zararı yoksa modüler aritmetik kullanarak bakayım) 

---

Eger taban asal ise F ile Z arasinda bir fark yok, Z'li olan halka da cisim olur. (Ayni elemana sahip sonlu cisimler birbirine isomoftur). Eger taban asal olmayan bir asal kuvveti ise Z'li olan sifir bolen icerdiginden bir cisim olamaz. 

Ornegi $p=5$ icin verilen polinom indirgenemez. Buna karsin $p=7$ icin $$(x^3+x+1)(x^3+x^2+1)$$ olarak carpanlara ayrilir. (Burada iki onemli bilgi de cikarilabilir aslinda: ikisi de 3. dereceden ve biri digerinin devrigi/reciprocal'i. Bunlar genelde de tutuyor).