Neredeyse bir sene once sordugum soru. Hem tek hem cift icin cevap yazacagim.
fb polinomunun turevi
x2+1. Tek koku
1. Bu nedene
x=1 kok oldugu zaman
fb polinomumuz cift katli kok icerir. Fakat
x=1 sadece
b=0 icin kok teskil ediyor, bu da olmayan bir durum.
b=0 iken diger kok de
0 olur.
Yukaridaki baslangictan sonra
F××:=F2m∖{0,1} olarak tanimlayalim. Eger
a,c∈F×× elemanlari
fb polinomunun farkli kokleri olsun. Bu durumda
(a+c)(c2+ac+(a2+1))=0 olur.
a≠c oldugundan
c2+ac+(a2+1)=0 olur. Bu da (
link)
tr1,m(a2+1a2)=0 olmali demek. Yani
tr1,m(1/a)=tr1,m(1) olmali.
a→1/a fonksiyonu
F×× uzerinde bir permutasyon ve
tr1,m lineer fonksiyonu
F2m elemanlarinin yarisini
0'a, yarisini da
1'e goturuyor.
Bu nedenle
M3=[2m−1−#{x∈{0,1}|tr1,m(x)=tr1,m(1)}]/3, M1=(2m−2)−3M3, ve
M0=(2m−1)−M3−M1 olur. Yani
m tek ise
(M3,M1,M0)=(2m−1−13,2m−1−1,2m+13) olur ve
m cift ise
(M3,M1,M0)=(2m−1−23,2m−1,2m−13) olur.