$\mathbb{F}_{2^m}$ uzerinde $f_b(x)=x^3+x+b$ polinomu

Question

$f_b(x)=x^3+x+b$ olarak tanimlayalim, $b \in \mathbb{F}_{2^m}^*$, $m$ tek.  (cevap cift $m$'leri de kapsiyor).

$M_i= \# \{b \in \mathbb{F}_{2^m}^* | f_b \: \textit{tam olarak $i$ koku var}\}$

oyleyse ($n=2^m$)

$ M_0=(n+1)/3$,

 $M_1=(n-2)/2$,

 $M_3=(n-2)/6$

oldugunu gosteriniz.

Ise yaraliligi icin: bir kac makalede ise yaradigini gordum, hatta su an benim de isime yaradi. O nedenle ise yariyor diyebilirim. Bu aciklamami kendim okurken bile kusasim geldi ama boyle. Diyebileceklerim bu kadar. 

Comments

iki çok gıcık biliyorsun değil mi?

---

i çözüme sahip derken i kökü var demek istiyorsun değil mi

---

Evet, kök. Arf invariant diye bir şey var ama makalelerde görünce mutlu oluyorum :) küçücük boyuyla çogu teoremde ispatlanamıyor, çogunda da ayrı durum :)

Answer 1

Neredeyse bir sene once sordugum soru. Hem tek hem cift icin cevap yazacagim.

$f_b$ polinomunun turevi $x^2+1$. Tek koku $1$. Bu nedene $x=1$ kok oldugu zaman $f_b$ polinomumuz cift katli kok icerir. Fakat $x=1$ sadece $b=0$ icin kok teskil ediyor, bu da olmayan bir durum. $b=0$ iken diger kok de $0$ olur.

Yukaridaki baslangictan sonra $F^{\times\times} :=\mathbb F_{2^m}\backslash\{0,1\}$ olarak tanimlayalim. Eger $a,c \in F^{\times\times}$ elemanlari $f_b$ polinomunun farkli kokleri olsun. Bu durumda $$(a+c)(c^2+ac+(a^2+1))=0$$ olur. $a \ne c$ oldugundan $$c^2+ac+(a^2+1)=0$$ olur. Bu da (link) $tr_{1,m}(\frac{a^2+1}{a^2})=0$ olmali demek.  Yani $tr_{1,m}(1/a)=tr_{1,m}(1)$ olmali. 

$a\to 1/a$ fonksiyonu $F^{\times\times}$ uzerinde bir permutasyon ve $tr_{1,m}$ lineer fonksiyonu $\mathbb F_{2^m}$ elemanlarinin yarisini $0$'a, yarisini da $1$'e goturuyor. 

Bu nedenle $$M_3=[2^{m-1}-\#\{x \in \{0,1\} \: | \: tr_{1,m}(x) = tr_{1,m}(1)\}]/3,$$ $$M_1=(2^m-2)-3M_3,$$ ve $$M_0=(2^m-1)-M_3-M_1$$ olur. Yani $m$ tek ise $$(M_3,M_1,M_0)=\big(\frac{2^{m-1}-1}{3},2^{m-1}-1,\frac{2^m+1}{3}\big)$$ olur ve $m$ cift ise $$(M_3,M_1,M_0)=\big(\frac{2^{m-1}-2}{3},2^{m-1},\frac{2^m-1}{3}\big)$$ olur.