Sıfırdan farklı her $z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır .

Question

Kitaptaki not'u aktarıyorum.

• Sıfırdan farklı her$z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır.$z$ karmaşık sayısının $z_{1}$ ve $z_{2}$ karekökleri için ; $z_{1}$=-$z_{2}$ ( kareköklerinden birin, diğerinin toplama işlemine göre tersidir.)
  

    İfadesi yer alıyor.Yani benim anladığım $z_{1}$+$z_{2}$=$0$ demek ki.

O halde $z_{1}$ ve $z_{2}$ bir $z$ karmaşık sayısının iki kökü olmak üzere;

$z_{1}$=$\sqrt {2}cis45$ ve $z_{2}$=$\sqrt {2}cis135$ olsun.

Bu durumda sonuç $z_{1}$+$z_{2}$=$2i$ çıkıyor. 

$2i$$\not =$$0$ olduğuna göre....

Hata mı yapıyorum yoksa verilen bilgi mı yanlış ?

Comments

45 den 135 i  nasıl buldunuz?

---

Hocam,hata bende özür dilerim.Açıları arasındaki artış miktarı 90 olan bi $z$ karmaşık sayısı yazmaya çalıştım.Grafikle yorumlayarak $y$=$|x|$ in grafiğine benzer bı şekil çizdim.Ama karekök diyince 2 kök bulunuyor sanırım. 90 diyemeyiz yani.

Örneğin ; $z$=$1+i$ karmaşık sayısının köklerini bulmaya çalışsak, kökler arasındaki fark 90 değil 180 oluyo yani $z_{1}$=$\sqrt{2}cis45$ $z_{2}$=$\sqrt{2}cis225$ oluyor ve toplamları da $0$ oluyo. Hatam varsa yine söylerseniz çok memnun olurum.

---

Yazdıklarını biraz açıklar mısın?

"Sıfırdan farklı herz $z$ karmaşık sayısının iki karekökü vardır. $z$ karmaşık sayısının $z_1$ ve $z_2$ karekökleri için ; $z_1=z_2$ ( kareköklerinden birin, diğerinin toplama işlemine göre tersidir.)"

yazmışsın. $z_1=z_2$ ise ve sıfırdan farklıysa, nasıl biri (birin değil) diğerinin toplama işlemine göre tersi oluyor?

---

$z_{1}$=-$z_{2}$ şeklinde düzelttim hocam, kitapta da böyle yazıyo.Teşekkür ederim.

---

Bir tane $z_1$ kökü varsa,ve bu kök $0$ değilse, $-z_1\neq z_1$ olur. Öte yandan $$(-z_1)^2=(-1)^2(z_1)^2=z_1^2$$ olacağı için, ilk kökün toplamsal tersi de ayrıca bir kök verir. Belki ikiden fazla karekök vardır ve sen başka bir karekökü almışsındır? Olabilir mi acaba böyle bir şey?

---

Evet hocam dediğiniz doğru,mesela $z^{4}$=$1+i$ desek bunun kökleri $z_{0}$=$1+i$,$z_{1}$=$-1+i$,$z_{2}$=$-1-i$,$z_{3}$=$1-i$ şeklinde bulunur. Burada bakılacak olursa $z_{0}$=-$z_{3}$ ve $z_{1}$=-$z_{2}$ olur.Sizin dediğiniz de bu sanırım.