Her dizi değil, her Cauchy dizisi yakınsak olmalı. Dikkat ederseniz sizin getirdiğiniz dizi Cauchy değil (Neden?)
Yaptığım hesap şöyle:
xn Cauchy dizisi olsun: her ε>0 için öyle bir N∈N sayısı vardır ki her n,m>N için |xn−xm|<ε olur.
Bakalım öyle mi?
|exn−exm|=|exm||exn−xm−1|≤exm|exn−xm|≤exme|xn−xm|<exmeε
n,m→∞ iken sağdaki ifade Cauchy dizileri R'de yakınsak olduğundan xm→x olur, dolayısıyla,
|exn−exm|<exeε
ve bu ifâde hiçbir ε için yakınsak değildir! En küçük ε değerinde bile ex ile sınırlı oluyor ifâde. Dolayısıyla, formel olarak ispat yaparken epsilonu, atıyorum, e2x seçseniz çelişki elde edeceksiniz demektir.
Yani, metrik uzayınız tam değildir.