Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.9k kez görüntülendi

R'de d(x,y)=|exey| olmak üzere (R,d) metrik uzayı tam uzay mıdır? 

Mesala xn=n alırsam |enem|<ϵ sağlanıyor fakat her xn cauchy dizisi için sağlanıyor mu onu nasıl gösterebilirim bilmiyorum.

Lisans Matematik kategorisinde (83 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.9k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Her dizi değil, her Cauchy dizisi yakınsak olmalı. Dikkat ederseniz sizin getirdiğiniz dizi Cauchy değil (Neden?)

Yaptığım hesap şöyle:

xn Cauchy dizisi olsun: her ε>0 için öyle bir NN sayısı vardır ki her n,m>N için |xnxm|<ε olur.

Bakalım öyle mi?

|exnexm|=|exm||exnxm1|exm|exnxm|exme|xnxm|<exmeε

n,m iken sağdaki ifade Cauchy dizileri R'de yakınsak olduğundan xmx olur, dolayısıyla,

 |exnexm|<exeε

ve bu ifâde hiçbir ε için yakınsak değildir! En küçük ε değerinde bile ex ile sınırlı oluyor ifâde. Dolayısıyla, formel olarak ispat yaparken epsilonu, atıyorum, e2x seçseniz çelişki elde edeceksiniz demektir. 

Yani, metrik uzayınız tam değildir.

(1.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

|exm||exnxm1| eşitlik böyle sağlanıyor ben mi yanlış görüyorum?

Haklısınız; sağolun, düzelttim.

20,299 soru
21,845 cevap
73,549 yorum
2,757,330 kullanıcı