Düzgün Süreklilik-VIII

Question

$f(x)=\frac{1}{x^2}$ kuralı ile verilen $f:[1,2]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu düzgün sürekli midir?

Comments

Sen neler düşündüğünü ve nerede takıldığını eklemelisin?

Answer 1

$$|f(x)-f(y)|=\Big{|}\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\Big{|}=\frac{|x-y||x+y|}{x^2y^2}\leq\frac{|x-y|(|x|+|y|)}{x^2y^2}<\delta \left(\frac{|x|}{x^2y^2}+\frac{|y|}{x^2y^2}\right)\leq \delta(1+1)<2\delta$$ olduğundan  her $\epsilon>0$ sayısı için $\delta$ sayısı $$0<\delta\leq\frac{\epsilon}{2}$$ seçilirse $$|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon$$ koşulu gerçeklenir. O halde $f$ fonksiyonu $([1,2]$ aralığı üzerinde$)$ düzgün süreklidir.

Answer 2

Teorem: Kapalı sınırlı bir aralık üzerinde tanımlı sürekli her fonksiyon düzgün süreklidir.

$[1,2]$ kapalı sınırlı bir aralık ve $f(x)=\frac{1}{x^2}$ kuralı ile verilen $f:[1,2]\to\mathbb{R}$ fonksiyonu sürekli olduğundan -yukarıdaki teorem gereğince- $f$ fonksiyonu $([1,2]$ aralığı üzerinde$)$ düzgün süreklidir.