$\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi üzerinde tam olmayan bir $d$ metriği tanımlanabilir mi veya bir örnek

Question

$\mathbb{R}$'yi tam yapmayan bir metrik tanımlayın.

Answer 1

$$d(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$$ kuralı ile verilen $$d:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu bir metriktir. Dolayısıyla $(\mathbb{R},d)$ ikilisi bir metrik uzaydır. Ancak bu metrik uzay bir tam uzay değildir. Çünkü $(n)_n$ dizisi bu uzayda bir Cauchy dizisi (neden?) olmasına karşın yakınsak değildir. Neden?

Comments

teşekkür ederim sağol

---

Neden Cauchy dizisi olmadığını göstermeye çalış.

---

Bir önceki yorumda yanlış yazmışım. Onu düzelteyim. Doğrusu "$(n)_n$ dizisinin Cauchy dizisi olmasına karşın neden yakınsak olmadığını göstermeye çalış" şeklinde olacaktı.

---

Detaylar bu linkte.