Topolojik Uzaylarda Baz-I

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overline{A^{\circ}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Comments

Topolojik uzayda bazin tanimi nedir ?

Answer 1

Alternatif cevap:

$X=\{1,2,3\}$   ve   $\tau=\{ \emptyset,X,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$  olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A|A\subseteq \overline{\overset{\circ}A} \right\}=2^X\setminus \{\{3\}\}$$

olur. Bu aile ise $X$  kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olamaz. Çünkü

$$\big(\overline{\{2,3\}^\circ}=\overline{\{2\}}=\{2,3\}\big)\big(\{2,3\}\subseteq \{2,3\}\big)\Rightarrow\{2,3\}\in\mathcal{B}$$

$$\big(\overline{\{1,3\}^\circ}=\overline{\{1\}}=\{1,3\}\big)\big(\{1,3\}\subseteq \{1,3\}\big)\Rightarrow\{1,3\}\in\mathcal{B}$$

fakat

$$\{2,3\}\cap\{1,3\}=\{3\}=\cup\mathcal{A}$$

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.

Comments

Bir de $X$ kümesinin $$A\subseteq \overline{A^{\circ}}$$ koşulunu sağlayan tüm altkümelerini de yazarsan güzel daha güzel olur. $$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$ olacak şekilde bir $$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$ ailesinin olmadığını görmek için söz konusu koşulu sağlayan kümelerin oluşturduğu aileyi de yazsan hoş olur.

---

haklısınız hocam düzenledim.

---

Emin misin?          

---

eminim hocam :-)

---

Şimdi fark ettim. $\{1\}\in\mathcal{B}$ oluyor. o zaman $$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$ olacak şekilde bir   $$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$ vardır. Cevabını tekrar incele. 

---

Sence  $$\mathcal{B}=\{\emptyset,X,\{1\},\{1,2\},\{1,3\}\}$$ olabilir mi?

---

evet hocam çözüm komple yanlış.

---

başka bir örnekle uygun hale getirdim hocam.

---

Evet. Şimdi olmuş.

Answer 2

$(\mathbb{R},\tau_{u})$ topolojik uzayını ele alalım.

$$\mathcal{B}:=\left\{A|A\subseteq \overline{\overset{\circ}A} \right\}=\{A |T\subseteq A\subseteq \overline{T}, T\in\tau_u\}$$

olur. Bu aile ise $\mathbb{R}$ kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olamaz. Çünkü

$$\big(\overline{[0,1]^\circ}=\overline{(0,1)}=[0,1]\big)\big([0,1]\subseteq[0,1]\big)\Rightarrow[0,1]\in\mathcal{B}$$

$$\big(\overline{[1,2]^\circ}=\overline{(1,2)}=[1,2]\big)\big([1,2]\subseteq[1,2]\big)\Rightarrow[1,2]\in\mathcal{B}$$

Fakat

$$[0,1]\cap[1,2]=\{1\}=\cup\mathcal{A}$$  

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.