Matrisin ozdegeri en fazla kac olabilir?

Question

$A$  matrisi $0$ veya $1$' lerden olusan $n\times n$ matris olsun. Tekil olmayan $A$  matrisinin ozdegeri en fazla kac olabilir?

Comments

En fazla kaç olabilir derken sayı değerinden bahsediyorsun değil mi ?

---

Lütfen denemelerimizi de yazalım, soru kalitelerini arttırmada yardımcı olalım.

---

$\lambda_{max}$       $n$'ye bagli olabilir..

Answer 1

$\overrightarrow{u}=(u_1,\cdots,u_n)$ bir özvektör olsun. $A\overrightarrow{u}=\lambda\overrightarrow{u}$ olsun. $u_k$, $\overrightarrow{u}$ vektörünün koordinatlarının en büyüğü olsun (Tabii ki birden fazla maksimum olabilir, biz bir tanesiyle ilgilenelim). Açık ki, $\overrightarrow{u}$'nun görüntüsünün $k$'inci koordinatı $$|\lambda u_k|=|a_{k1}u_1+a_{k2}u_2+\cdots+a_{kn}u_n|\leq |a_{k1}u_1|+|a_{k2}u_2|+\cdots+|a_{kn}u_n|\leq n\cdot |u_k|$$

eşitsizliğini sağlar. Bu da $|\lambda|\leq n$ olduğunu gösterir. $\lambda=n$ şartını sağlayan bir matrisin varlığını göstermek de soruyu sorana kalsın.

Comments

Tekil olmayan matris sartini gozardi etmissiniz..

---

Butun elemanlari 1 olan $n\times n$ matrisin ozdegerleri $\{n,0,0,...,0\}$  dir, ama matris tekildir. Matris tekildir ancak ve ancak 0 ozdegerse..

---

Göz ardı etmedim. Sizin verdiğiniz örnekten başka matrisler de var.

---

$2 \times 2$ boyutlu, sadece sıfır ve birlerden oluşan ve tekil olmayan altı tane matris var. $2$, hiçbirisinin özdegeri değil.

---

Zaten benim buldugum deger tekil olmayan matris icin $\lambda_{max}<n$. Matrisin boyutuna  yani n bagli bir formul ariyorum $\lambda_{max}$ icin.

---

İlk satırı $1,1$ ikinci satırı $1,0$ olan matirisin özvektörlerinden bir tanesi $(1,0)$ ve görüntüsü $(2,0)$.

---

Goruntu derken?

---

Görüntüsünü yanlış hesapladım sanırım. Yine de $n$ olamaz mı emin değilim. Bi ara bi bakarım.

---

Sanırım en fazla $1$ olabilir. Vektör uzayı üzerinde istediğimiz normu alabiliriz, o yüzden sup normu alalım. $A$'nın operatör normunun $1$'den küçük eşit olduğu aşikar. Bu da özdeğerin normunun $1$'den küçük eşit olacağı anlamına gelir.

---

Senin yukarıda verdiğin örneğin pozitif özdegeri altın oran. $1$'den büyük.

---

Ya ben şarap içiyorum bir süredir. Bunlar hep şarap, pardon.

---

Ben de epeydir sarap iciyorum ama ... Biraz azalt abi sarabi, eger boyle icecekseniz hic icmeyin, bizim de adimizi karaliyorsunuz :)

---

Zaten operator normu da $1$ falan olmuyor. İyice atmışım.

Answer 2

$n=2: \quad A=\left( \begin{array}{cc}  0 & 1 \\  1 & 1 \\ \end{array} \right),\quad \lambda_{max}=\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{5}\right),\quad x^2-x-1=0$

$n=3: \quad A=\left( \begin{array}{ccc}  1 & 0 & 1 \\  0 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right),\quad \lambda_{max}=1+\sqrt{2},\quad x^2-2x-1=0$

$n=4: \quad A=\left( \begin{array}{cccc}  1 & 1 & 0 & 1 \\  1 & 0 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right),\quad \lambda_{max}=\frac{1}{2} \left(3+\sqrt{13}\right),\quad x^2-3x-1=0$

$n=5: \quad A=\left( \begin{array}{ccccc}  1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\  1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right),\quad \lambda_{max}=2+\sqrt{5},\quad x^2-4x-1=0$

$n=6: \quad A=\left( \begin{array}{cccccc}  1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\  1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\  1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\  0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\  1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right),\quad \lambda_{max}=\frac{1}{2} \left(5+\sqrt{29}\right),\quad x^2-5x-1=0$

$\vdots$

$n=n,\quad x^2-(n-1)x-1=0\implies  \lambda_{max}=\frac{1}{2} \left(n-1+\sqrt{n^2-2 n+5}\right)$