öz değer öz vektör

Question

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ matrisinin öz vektörü?

Comments

aşağıdaki işlemleri yaptım yalnız sonuç tan emin değilim iki landa değeri içinde x1 ve x2 yi 0 buluyorum bir yerlerde hata mı yapıyorum yoksa sonucun böylemi olması gerekiyor

$\left( A-\lambda I\right) =0$ 

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 \\ 0 & -1-\lambda \end{vmatrix}$=0

$\begin{aligned}\left( 1-\lambda \right) \left( -1-\lambda \right) -0=0\\ \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1\end{aligned}$

$\begin{aligned}\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=0\\ \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{aligned}$

---

$\left[\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right]$

da olabilir mi?

---

$\begin{aligned}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\\ 0+0=0\\ 0-x_{2}=0\\ x_{2}=0\\ x_{1}=0\end{aligned}$

ben burda biyerdemi hata yapıyorum acaba

---

$x_1=0$ nerden geldi? 

$x_1$ ne olursa olsun ($x_2=0$ olduğu sürece) o denklem sağlanır.

---

1. denklemde x1 ve x2 nin katsayısı sıfır 

2. denklemde ise x1 sıfır x2'nin ise  -1 oluyor burdan yola cıkarak ikisinde sıfır demiştim 

$\begin{aligned}0x_{1}+0x_{2}=0\\ 0x_{1}-x_{2}=0\end{aligned}$

---

1. $x_1=1$ (veya herhangi bir değer) $x_2=0$ o denklemleri sağlar.

2. Bu vektör, $\lambda=1$ için özdeğerderdir. $\lambda=-1$ için denklemler farklı.

---

Anladım hocam teşekkür ederim 

---

eğer yanlış anlamadıysam hocam λ= -1 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

olacak sanırım

---

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$  matrisinin $x$ eksenine göre yansıma matrisi olduğuna dikkat edin. Bu matris $(1,0)$ vektörünü invaryant yani değişmez bırakır.

---

$\lambda _{=-1}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ 

landa -1 için sonuç değişmiyor mu yani?

---

Çok soru sordum kusura bakmayın lise terkim. matematik'den pek anlamıyorum ama boş zamanlarım da kendimce uğraşıyorum

normalde özdeğerlerini bulabiliyorum ama sanırım ezbere dayalı benimkisi.bu soru kafa mı karıştırıdı bilgi eksiliğim var birilerine danışmak istedim. 

---

Bahsettiğim $\lambda=1$ durumuna karşılık gelir. Lise terk olup da bunlarla uğrasmanız takdire şayan. 

---

Peki $\lambda =-1$ için X1 ve X2 ne oluyor 

---

$\lambda=1$ için yapılan işlemlerin benzerin yapınca kolayca bulunuyor.