Harmonik seri ile hesaplama

Question

Iraksadığını bildiğimiz halde harmonik serinin ıraksaklığını gözlemsel bir delili yoktur. Sadece kısmi toplamlar çok yavaş büyürler. Buna göre 13 milyar yıl önce, evrenin yaratıldığı gün S1=1 ile başladığımızı ve her Sn e yeni bir terim eklediğinizi varsayın. Bir yılın 365 gün olduğunu kabul edersek bugün Sn kısmi toplamı ne kadar olur?

Comments

İki basamaklı bir sayı olur.

---

<p> Hocam teşekkürler... Peki nasıl hesaplayabiliriz? 
</p>

---

Anlamadığım şey şu bir serinin ıraksaklıgından yada yakınsaklıgından bahsedebilmemiz için serinin sonsuza gitmesi gerekmiyor mu ?

---

<p> Sn sonsuza gidiyor zaten yalnız n değerini bugün için hesaplamamız gerekiyor.
</p>

---

@Merve, lutfen yorumlari yorum olarak paylasmaya ozen gosteriniz.

---

13 milyar sayı sonsuz değil bence .Ben yanlış mı anlıyorum evren ilk kuruluyor ve $a_0=1 $ diyoruz sonra her saniye bir terim ekliyoruz .$13\times365\times24\times60\times60\times10^9$ bu sayı bana sonsuz gbi gelmiyor sonlu terimi var bence yazdığın şeyin. 

---

@ra, sonsuz degil evet, fakat $S_{13\times10^9\times365}$ sayisinin hesaplanabilir bir (rasyonel) degeri var. Bu deger de @Dogan hocanin dedigi gibi bu sayi iki basamakli bir sayi. Eger bu sorua gozlemsel baksaydik, herlade iraksak demezdik. Fakat sonsuz ile buyuk sayi arasindan fark var, dedigin gibi. Bu sunun icin guzel bir ornek, iraksak bir dizi "bizim" buyuk dedigimiz degerlerde yine bizim "buyuk" diyebilecegimiz bir sayi olmak durumunda degil.

---

Öncelikle yorum olarak yazamiyorum cok kullanicisi degilim bu sitenin. 
<div>
     Soruya gelincede burada istenilen Sn sonsuzluk degil kendimi yanlış ifade etmiş olabilirim. 13 milyar yıllık hesabı istedim sadece... yani bu hesapla son bulmuyor. Devaminda üç nokta ile sonsuza gidiyor.
</div>

---

Cevap 41 iki basamakli bir sayi evet. Ama hesaplanisi seriyi yazarak nasil olabilir?

---

Şimdi anladım açıklama için teşekkürler .

---

Ben gün olarak düşünüp hesaplamıştım, ama saniye bile olsa, çok küçük bir değer çıkıyor. Güzel soru.

---

Sanırım çok yavaş buyuyor demekle kastın lnx fonksiyonu gibi olması .Ki hesaplarınıda $ lnx $ fonksiyonuna göre yapınca dediğin gibi  yaklaşık olarak 41 bulunuyor.Ama yavaş bir şekilde seri büyüyorsa şunun için de doğru olmaz mı ben seri olarak $ln(ln(lnx))$ alırsam çok daha yavaş bir seri alırım ve bu şekilde toplamı da  düşürür.

ilk terimi 1 aldıgımız için ln serisine uygulanmış hali bu şekilde oluyor.

$log_{e} \{4.0999681\times10^{17} \}=40.55485578$

Answer 1

Su bilgiyi kullanmamiz yeterli (link) $$\sum_{n \le x}\frac1n=\ln x+\gamma+\mathcal O\left( \frac1x \right).$$ Yani ifade yaklasik olarak $$\ln (13\times365\times24\times60\times60\times 10^9)$$ degerine esit olur. $2<e<3$ oldugundan $$13\times365\times24\times60\times60\times 10^9<2^4\times2^8\times 2^5\times 2^5\times 2^6 \times (2^4)^9=2^{64}$$  olacagindan $$\ln (13\times365\times24\times60\times60\times 10^9)<64$$ olur ve $$13\times365\times24\times60\times60\times 10^9>3^2\times3^5\times 3^2\times 3^2\times 3^3 \times (3^2)^9=3^{32}$$ oldugundan $$\ln (13\times365\times24\times60\times60\times 10^9)>32$$ olur. Bu da ifademizin yaklasik olarak $$32\;\;\; \text{ ile } \;\;\; 64$$ arasinda oldugunu verir.

Comments

Ayrica $\ln x+1$ degeri de ust sinir. Bunu da belirtmek iyi olur.

---

bunu yakışıklı bir hoca metuda anlatmıştı.

---

Sercan hocanın verdiği link