Question

Homojen olan bir üçgenin ağırlık merkezinin $(\frac{x_1 + x_2 + x_3 } 3 , \frac{y_1 + y_2 + y_3}3 )$   olduğunu gösteriniz. 

Comments

Sorunun içeriğini biraz daha açın lütfen. x1, x2 ve diğer ifadeler ne?

Bu soru için serbest kategorisi uygun değil gibi.

Soru başlığını da böyle seçmemek gerek.

Answer 1

Analitik Düzlemde köşeleri $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2), C(x_3,y_3)$ olan bir üçgen düşünelim. Bu üçgenin $|BC|$ kenarına ait kenar ortay $|BC|$'yı $D$ noktasında kessin. $D$ noktası $|BC|$'nin orta noktası olup $ D(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$ dır. ABC üçgeninin kenar ortaylarının kesim noktası $G(x,y)$ noktası ise, kenarortay teoremine göre G noktası $|AD|$ doğru parçasının $2$ oranında içten bölen bir noktadır. Yani :$\frac{|AG|}{|GD|}=2$ 

$|AD|$  doğru parçasını $k$  oranıda içten bölen $G(x,y)$ noktasının koordinatları:

$x=\frac{x_1+k.(\frac{x_2+x_3}{2})}{1+k} = \frac{x_1+2(\frac{x_2+x_3}{2})}{1+2} =\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$ ve 

$y=\frac{y_1+k.(\frac{y_2+y_3}{2})}{1+k} = \frac{y_1+2(\frac{y_2+y_3}{2})}{1+2} =\frac{y_1+y_2+y_3}{3}$ 

 olacaktır. 

Ancak her zaman bir üçgenin herhangibir ağırlığı var mı yok mu diye çok düşünmüşümdür. Eğer üçgen (yani bir nokta kümesinin) bir ağırlığı varsa o zaman da noktanın da bir ağırlığı olmaz mı? Eğer bir ağırlığı yoksa neden yabancılar "Gravity Center" dediler diye biz de anlamsızca "ağırlık merkezi" diyoruz?

Comments

Ucgenin agirligi olmasa bile ucgenin agirlik merkezinden bahsetmek manali olabilir. Mesela tabani ucgen, ve sabit bir kalinlikta olan her katinin agirlik merkezi ucgenin agirlik merkezinin ustunde bir yerlerde olur.

---

<p> /3 hepsinin x1 + x2 + x3 toplami /3 olacak y icinde gecerlidir aynısı. Sorunun kategorisi Lisan Analiz4 
</p>