Doğan Hocam, şu kanıt yeterli midir? :
k_1 , . . . , k_n \in K, (G_k)_k \in \oplus_K G_k 'nın 1'den farklı göstergeçleri olsun. Varsayımı kullanarak, N \leq n için, k_1, . . . ,k_n \in I ve k_{N+1}, . . . , k_n \in J olduğunu varsayabiliriz.
Bu durumda k_1, . . . , k_N'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana (G_i)_i \in \oplus_I G_i ; k_{N+1}, . . . , k_n'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana (G_j)_j \in \oplus_J G_j dersek
\varphi((G_k)_k) = (G_i)_i \oplus (G_j)_j
dönüşümü bir homomorfidir ve bize aradığımız izomorfizmayı verir.Nitekim \varphi birebirdir çünkü I ve J ayrık kümeler. Ayrıca Ker\varphi = 1 eşitliği de bariz.