Processing math: 47%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.3k kez görüntülendi

I ve J ayrık göstergeç kümeleri, K=IJ olsun. (Gk)k bir grup ailesi olsun.

KGk (IGi) (JGj)

izomorfisini gösterin.

Not: Kanıtın tamamını yazmak yerine ipucu vermeniz çok daha yardımcı olur. 

Lisans Matematik kategorisinde (691 puan) tarafından  | 1.3k kez görüntülendi
Direk toplamin tanimi nedir?

Tanım1: I bir küme olsun. 

IGi := {(gi)iIGi: {iI:gi1:isonlu}} şeklinde tanımlayalım.

Tanım2: Grubun çarpımını (gi)i(hi)i=(gihi)i şeklinde tanımlayalım.

Tanım3: G=IGi ve her jJ için:

Hj=  {(g_i)_i \in G :  \forall i \in I  için eğer (i \neq j) ise (g_i) = 1}

olsun.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

 \displaystyle\prod_{i\in I}G_i=\{ f\ |\  f:I\to \bigcup_{i\in I}G_i,\ (\text{her } i\in I\text{ için })f(i)\in G_i\} olarak tanımlandığına göre.

F:I\cup J\to \bigcup_{k\in I\cup J}G_k  ise F\mid_I (kısıtlama) ve F\mid_J  nin, sırasıyla, \prod_{i\in I}G_i ve \prod_{j\in J}G_j nin elemanları olduğunu göstermeyi dene . Bir de bunun tersinin yapılabileceğini kontrol et. Bu şekilde \displaystyle\prod_{i\in I}G_i\oplus \prod_{j\in J}G_j arasında bir izomorfizma kurabilirsin. Daha sonra bu izomorfizmayı (\oplus_{i\in I}G_i)\oplus( \oplus_{j\in J}G_j) ye kısıtladığında aradığın izomorfizma karşına çıkabilir. (Veya \prod_{i\in I} G_i adımını atlayıp, aynı fikri kullanarak,  doğrudan da yapabilirsin)

(6.2k puan) tarafından 

Kısıtlamanın tanımı nedir?

Bir fonksiyonun, tanım kümesinin bir alt kümesinde tanımlı olarak düşünülmesi (restriction).

Doğan Hocam, şu kanıt yeterli midir? :

k_1 , . . . , k_n \in K, (G_k)_k \in \oplus_K G_k 'nın 1'den farklı göstergeçleri olsun. Varsayımı kullanarak, N \leq n için, k_1, . . . ,k_n \in I ve k_{N+1}, . . . , k_n \in J olduğunu varsayabiliriz. 

Bu durumda k_1, . . . , k_N'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana (G_i)_i  \in \oplus_I G_i ; k_{N+1}, . . . , k_n'inci koordinatları 1'den farklı olan elemana (G_j)_j  \in \oplus_J G_j dersek

                                        \varphi((G_k)_k) = (G_i)_i \oplus (G_j)_j

dönüşümü bir homomorfidir ve bize aradığımız izomorfizmayı verir.Nitekim \varphi birebirdir çünkü I ve J ayrık kümeler. Ayrıca Ker\varphi = 1 eşitliği de bariz. 

20,319 soru
21,880 cevap
73,599 yorum
2,922,538 kullanıcı