$R_1,R_2,...,R_n$ birer Noetherian halka ise $R= R_{1}+R_2+...+R_n$ sonlu direkt toplamının bir Noetherian halka olduğunu gösteriniz.
Elde olan bilgiler:
1) $R_i$ ler Noetherian halka olduğu için her birinin idealler ailesi sonlu bir artan zincire sahiptir örneğin $R_1$ in bir idealler ailesi $I_1, I_2,I_3...$ ise $I_1 \subseteq I_2 \subseteq ... \subseteq ...$ zinciri sonlu bir adımda durur yani bir maksimal elemanı bulunur $I_k = I_{k+1}$ .
2) $R_i$ nin her ideali sonlu üretilmiştir.
3) Noetherian halkanın ideali ile oluşturduğu bölüm halkası da Noetherian halkadır.
4)Noetherian halkanın her homomorf görüntüsü de Noetheriandır.
Amaç, $R$ nin idealler ailesinden alınan herhangi bir alt kümenin de artan zincirinin sonlu bir adımda durduğunu göstermek. Bu bilgiler dahilinde önerebileceğiniz bir yöntem ne olabilir?