Noetherian halkaların sonlu sayıda direkt toplamları da Noetherian halkadır gösteriniz.

Question

$R_1,R_2,...,R_n$ birer Noetherian halka ise $R= R_{1}+R_2+...+R_n$ sonlu direkt toplamının bir Noetherian halka olduğunu gösteriniz.

Elde olan bilgiler:

1) $R_i$ ler Noetherian halka olduğu için her birinin idealler ailesi sonlu bir artan zincire sahiptir örneğin $R_1$ in bir idealler ailesi $I_1, I_2,I_3...$ ise $I_1 \subseteq I_2 \subseteq ... \subseteq ...$ zinciri sonlu bir adımda durur yani bir maksimal elemanı  bulunur $I_k = I_{k+1}$ .

2) $R_i$ nin her ideali sonlu üretilmiştir. 

3) Noetherian halkanın ideali ile oluşturduğu bölüm halkası da Noetherian halkadır. 

4)Noetherian halkanın her homomorf görüntüsü de Noetheriandır.

Amaç, $R$ nin idealler ailesinden alınan herhangi bir alt kümenin de artan zincirinin sonlu bir adımda durduğunu göstermek. Bu bilgiler dahilinde önerebileceğiniz bir yöntem ne olabilir?







Comments

Öncelikle iki halkanın direkt toplamını düşün. Sonrası tümevarım.

Iki halkanın direkt toplamının bir ideali neye benzer? Bunu görebilmek asıl olay.

En sevdiğin halkayı al, adına R diyelim. $R \oplus R$ halkasının bir idealini yaz. Genel değil, tek bir örnek.

---

Soru sahibinin en favori halkası ne, hala bekliyoruz öğrenmek için.