Aslinda direkt carpim ve direkt kocarpim (coproduct) diye iki tanim geregi duyulmus. Bunlarin tanimini tamamen kategori teori icinde kalarak, yani nesnelerimizin elemanlarindan hic bahsetmeyerek (kaldi ki nesnelerimiz kume olmak zorunda da degiller!) verebiliriz.
Elimizdeki kategori toplamsal (additive) bir kategori ise, tanimdan oturu her sonlu nesne ailesinin direkt carpiminin ve direkt kocarpiminin varligi garantilenmistir. Ustelik bu durumda direkt carpim ve direkt kocarpimin birbirine esit olacagi gosterilebilir. Bu durumda bu ortak nesneye direkt toplam denir.
Yani aslinda sonsuz bir direkt toplamdan bahsettigimiz zaman, aslinda bir direkt kocarpimdan bahsediyoruz.
Ornek olarak canimizdan cok sevdigimiz $modR$ kategorisini alalim ($R$ halkasi uzerine sag $R$-moduller kategorisi. Kendisini seviyoruz cunku bizim gibi resim cizemeyen arkadaslarin geometri yapmasini sagliyor.). Hatta $K$ bir cisim olmak uzere $modK$'yi alalim, yani $K$-vektor uzaylarinin kategorisi (Bundan sonra bahsedecegim her vektor uzayi bir $K$-vektor uzayi. Ozel olarak $\mathbb{R}$ uzerine vektor uzaylarini dusunelim hep.)
$(V_{\alpha})_{\alpha \in I}$ ailesi bir $I$ kumesi ile damgalanmis (indekslenmis?) bir vektor uzayi ailesi olsun. Bu $V_{\alpha}$'larin direkt carpimi $\prod_{\alpha \in I} V_{\alpha}$ olarak gosterilir ve asagidaki su ozelligi saglar:
-
$p_{\alpha}: \prod_{\alpha \in I} V_{\alpha} \to V_{\alpha}$ (dogrusal) izdusum fonksiyonlari olmak uzere, her $W$ vektor uzayi ve bu vektor uzayindan, ailemizdeki nesnelere gonderilen her dogrusal fonksiyon ailesi $$(T_{\alpha} : W \to V_{\alpha})_{\alpha \in I}$$ icin, oyle bir biricik $$g: W \to \prod_{\alpha \in I} V_{\alpha}$$ dogrusal fonksiyonu vardir ki her $\alpha \in I$ icin $$p_{\alpha} \circ g = T_{\alpha}$$ olur.
Bu kitaplarda bulacagimiz kategorik tanim. Ama aslinda bu ozellik tamamen sunu soyluyor: Elimizde bir takim vektor uzaylari var. Ben sana herhangi bir $W$ vektor uzayi veriyorum. Senin bu $W$ uzayindan elimizdeki vektor uzaylarina teker teker dogrusal fonksiyonlar yazmanla, direkt carpima bir dogrusal $g$ fonksiyonu yazman ayni sey.
Simdi bunu bir ornekle aciklayalim: Butun $V_{\alpha}$'lar $\mathbb{R}$ olsun (bir boyutlu vektor uzayi). Damga kumemiz $I$'yi da dogal sayilar kumesi alalim. Bir de $W = \mathbb{R}$ olsun ($W$ bir boyutlu vektor uzayi ve $\{1\} \subset \mathbb{R}$ bir baz. Yani bir dogrusal fonksiyon yazmak istiyorsak $1$'in nereye gittigine bakmamiz yeterli). Simdi teker teker $W = \mathbb{R}$'den $V_n = \mathbb{R}$'ye $f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dogrusal fonksiyonlari yazalim. Eninde sonunda elde ettigimiz sey bir fonksiyon dizisi
$$(f_n)_{n \in \mathbb{N}} = (f_1, f_2, \ldots)$$
olur. Direkt carpimin tanimindan oturu bu diziyi $\mathbb{R}$'den $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$'ye bir fonksiyon olarak dusunebiliriz. $f_n$ fonksiyonlari uzerinde herhangi bir kisitlama olmadigi icin, $f_n(1)$ elemanlari uzerinde de bir kisitlama yoktur. Daha da acarsak, her $a \in \mathbb{R}$ icin $f_n(1) = a$ olacak sekilde bir $f_n$ fonksiyonu bulabiliriz. Bu da demek oluyor ki direkt carpim $\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{R}$'nin elemanlari $$(f_{n}(1))_{n \in \mathbb{N}} = (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$$
seklindedir. Yani, $\mathbb{R}$'lerin sayilabilir direkt carpimi reel sayi dizilerinin olusturdugu vektor kumesidir.
-Reklamlar-
Matematik Dunyasi alin, aldirin. Su anda elimdeki Matematik Dunyasi dergilerine ulasimim olmadigi icin tam olarak hangi sayida oldugunu bilemiyorum, ama mutlaka bir yerlerde bunlarla ilgili benim yazdigimdan daha iyi bir sey olacaktir. Matematik Dunyasi'niz yoksa benim gibi 2 saat kaybedersiniz bunlari yazmaya calismak icin. Matematik Dunyasi almamak pismanliktir. Matematik Dunyasi, Matematik Dunyasi.
-Reklamlar-
Simdi, direkt toplamdan (direkt kocarpim) bahsedelim. Yine, $(V_{\alpha})_{\alpha \in I}$ ailesi bir $I$ kumesi ile damgalanmis (indekslenmis?) bir vektor uzayi ailesi olsun. Bu $V_{\alpha}$'larin direkt toplami $\oplus_{\alpha \in I} V_{\alpha}$ olarak gosterilir ve asagidaki su ozelligi saglar:
-
$i_{\alpha}: V_{\alpha} \to \oplus_{\alpha \in I} V_{\alpha}$ (dogrusal) inclusion (bunun istedigim gibi bir Turkcesini bulamadim tmdsozluk'te, gerci onemli degil aslinda bu fonksiyonlarin ne oldugunu bilmiyoruz, ama boyle bir fonksiyon ailesi varsa ona inclusion map diyoruz, ayni sey izdusum fonksiyonlari icin de gecerliydi.) fonksiyonlari olmak uzere, her $W$ vektor uzayi ve ailemizdeki nesnelerden bu vektor uzayina gonderilen her dogrusal fonksiyon ailesi $$(T_{\alpha} : V_{\alpha} \to W)_{\alpha \in I}$$ icin, oyle bir biricik $$g: \oplus_{\alpha \in I} V_{\alpha} \to W$$ dogrusal fonksiyonu vardir ki her $\alpha \in I$ icin $$g \circ i_{\alpha} = T_{\alpha}$$ olur.
Bu da esasen su demek oluyor. Elimizde bir takim vektor uzaylari var. Ben sana herhangi bir $W$ vektor uzayi veriyorum. Senin elimizdeki bu uzaylardan, $W$'ya teker teker dogrusal fonksiyonlar yazmanla, direkt toplamdan $W$'ya bir dogrusal $g$ fonksiyonu yazman ayni sey.
Yukaridaki ornegimiz uzerinden direkt toplama bakalim. Yine, butun $V_{\alpha}$'lar $\mathbb{R}$ olsun, damga kumemiz $\mathbb{N}$ olsun ve de $W = \mathbb{R}$ olsun. Teker teker $f_n : \mathbb{R} \to W (= \mathbb{R})$ fonksiyonlari yazalim. Tanim geregi bu, $\oplus_{n\in \mathbb{N}} \mathbb{R}$'den $W$'ya bir dogrusal $g$ fonksiyonu yazmak ile ayni sey. Vektor uzaylarinda sadece sonlu toplamlardan bahsedebildigimiz icin (zira sonsuz toplam dedigimiz sey bir limit alma isleminden baska nedir ki? Ve vektor uzaylari kategorisinde analiz anlaminda limit yok), $\oplus_{n \in \mathbb{N}}$ vektor uzayinin elemanlari bir zaman sonra $0$ olan diziler olmali. Aksi takdirde, eger direkt toplamda bir zaman sonra $0$ olmayan bir eleman olsaydi, $ g \circ i_{n} = f_n$ esitliginden dolayi $W$'da bir sonsuz toplam elde etmis olacaktik.
Su son paragrafi biraz kotu yazdigimin farkindayim. Duzeltmeye calisacagim.