$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ olduğunu dizilerdeki limit tanımından hareketle gösterelim.

Question

direk limitini aldım ,$n\to \infty$ için  $1/n=0$ olur dedim gene kabul olmadı, epsilon delta ile nasıl oluyor

Comments

$$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=L$$ tanimini epsilon-delta ile nasil yazariz? Yani bu tanim nedir? Buna bilmek lazim ilk olarak...

Answer 1

$\varepsilon>0$ olsun. Öyle bir $N$ doğal sayısı bulacağız ki her $n \geq N$ doğal sayısı için 

                                         $\left| \dfrac {1} {n}-0\right|=\dfrac {1} {n} <\varepsilon$

eşitsizliği sağlansın. Arşimet özelliğinden öyle bir $N$ doğal sayı vardır ki her $N$ için $N > \dfrac {1} {\varepsilon }$. Yani, $\dfrac {1} {N} < \varepsilon$. Böylece, her $n \geq N$ doğal sayısı için $\dfrac {1} {n}\leq \dfrac {1} {N } < \varepsilon$.

İstenilen kanıtlanmıştır.

Comments

Orta esitsizlikteki en son sifir epsilon olmali herhalde? Ayrica saglansin dedikten sonra (bu bir kabuldur ve) saglanir. (Yani) Limitin oldugunu kabul edip limit var demis olduk. Ben su an boyle anliyorum.

---

Evet, sıfır değil epsilon. Düzeltiyorum. Zaten soruda limitin 0 olduğunu gösterin demiyor mu? Ama Öyle bir $N$ doğal sayısı var demedim k, 'olmalı' dedim.

---

Düzelttim. Şimdi daha net olmalı.

---

tesekkurler       

Answer 2

Tanımı uygulayalım;

Amacım her  $n\ge N$ olacak şekilde bir $N$ doğal sayısı bulabiliyor muyum ki?

$\left|\dfrac1n-0\right|<\epsilon$  olsun.

Zaten amacım $n$ çook büyük sayılarda iken hatta sonsuza giderken bunun doğru olması o zaman;


$\dfrac1n<\epsilon$ olur ve tanım gereği;

$\star\boxed{\dfrac1n\le \dfrac1N <\epsilon}$ bunu ıspatlamam gerek.


Buradaki   $N$ 'yi epsilon cinsinden seçmemiz gerektiği bariz o zaman seçelim;


$\lfloor x\rfloor$  tam değer fonksiyonu ise;


$N=\left\lfloor \frac1\epsilon \right\rfloor+1$   seçersek tamamdır....


$\boxed{\boxed{\dfrac1n\le \dfrac1N=\dfrac1{\left\lfloor \frac1\epsilon \right\rfloor+1} <\dfrac1{\frac1\epsilon}=\epsilon}}$

Comments

        tesekrler