$f:G \longrightarrow H$ ve $P \in Syl_p(G)$ ise $f(P) \in Syl_p(H)$.

Question

$G$ sonlu bir grup ve $f:G \longrightarrow H$ bir epimorfi (örten homomorfi) olsun. Eğer $P$, $G$'nin bir sylow-p-altgrubu ise $f(P)$, $H$'nin bir sylow-p-altgrubu olur.

Kanıt: $P \in Syl_p(G)$ olsun. Tanım gereği $P$ maximal p-altgruptur.

İlk olarak $f(P)$'nin p-altgrup olduğunu daha sonra ise maximal olduğunu göstermeliyiz.

$f(P)'nin$ p-altgrup olduğunu gösterebilirsem, maximal olduğunu göstermek için $f(P)$'yi içeren bir p-altgrup olduğunu varsayıp çelişki elde etmeye çalışacağım.

Sorum şu: $f(P)$, $H$'nin p-altgrubu mudur?

Comments

$f(P)$'nin mertebesinin $p$'nin kuvveti oldugunu gosterdin mi? o kismi tam anlamadim. Bunu gostermek basit.

$f$ bir homomorfizma oldugunda $a^n=e_G$ ise $f(a)^n=f(a^n)=f(e_G)=e_H$ olur.

---

Evet. Her elemanın derecesinin $p$'nin bir kuvveti olduğunu göstermeye çalış.

---

28 saniye ile Sercan'a geçildim.