Denklemler

Question

$x^4-x^3-3x^2+4x-4$  denkleminin reel kokler toplami nedir?

Ben kitapta bir not gormustum , boyle olunca sabit terimin carpanlarini denklemde saglanip saglanmadigini deneyip saglayan degeri rpan olarak alip gerisi icin polinom bolmesi yapiyormusuz. Denedim sonucu buldum ama baya uzun surdu ve bunun bir ispatini da bilmiyorum . Bilen bir hocam varsa yardimci olabilirmi?

Comments

merhabalar.

bildiğinizden farklı birşey pek söylemeyeceğim 

denklemin kökler çarpımı $\frac {+-sabit}{başkatsayı}$ olduğundan eğer tamsayı kök varsa başkatsayı 1 iken sabitin çarpanlarından aranabilir.

bu soru özelinde -4 ün bölenlerinden 2 ve -2 denklemi sağlıyor.

şimdi 2 kök ise ifade $x^4-x^3-3x^2+4x-4=(x-2).A(x)$ ve A(x) üçüncü derece bir polinom olmalı (sadece 2 olan kökü yazdım genelde 1 kök bulununca derece düşürmek için polinom bölmesi yapılır yoksa $x^4-x^3-3x^2+4x-4=(x^2-4).B(x)$ de yazabiliriz ).

bu noktada yol ikiye ayrılıyor.Eğer bölen birinci derece ise Horner yöntemi ile bölümü daha hızlı bulabilirsiniz.

ben önce x-2 ile böldüm. bölüm $x^3+x^2-x+2$ sonrada x+ 2 ile böldüm $x^2-x+1$ ve son ikinci derece ifadenin ise reel kökü yok. demekki reel kökler -2 ve +2

kolay gelsin

---

Hocam tesekkurler bende boyle yapmistim da  baştaki sabit Ssayi olayini pek anlayamadim bendeki kitap da oyle diyordu ama mantigi ne bunun biraz ayrintili anlatabilirmisiniz rica etsem hocam

---

muhtemelen bazı köklerin tamsayı olduğundan hareketle (tabiki öyle olmak zorunda değil) son terimin bölenleri deneniyor, genelde soru kurulurken soruyu kuran kişi  bir kök 3 olsun -2 olsun gibi başlıyor sonra bunu ikinci derece şu ifadeyle çarpayım ve ikiden büyük dereceli denklem elde edeyim (en azından orta öğretimde bu şekilde) mantığına göre sanırım. Katsayılar tamsayı olmazsa ararken yaş gününü kutlayanlar vardı , duymuştum :)

---

Sorunuz rasyonel kök teoremi ile ilgili. Bir $P(x)$ polinomunun $r$ ve $s$ aralarında asal olmak üzere $\dfrac{r}{s}$ gibi bir sıfırı (kök diyelim) varsa $r|a_{0}$  ve $s|a_{n}$ olmalıdır. Fakat bu ifadenin karşıtı doğru değildir. Bu tip sorularda $x^2+x+1$   veya $x^2-x+1$ tipindeki çarpanlar olma ihtimali daha yüksek olabildiğinden bunlarla bölerek polinomu indirgeyebilirsin.

---

Örneğin $P(x)=6x^4+17x^3+7x^2-8x-4$  olsun.   $\dfrac{r}{s}$ sayısı  $P(x)=0$ ın  rasyonel kökü ise $r|4$ ve $s|6$ olmalıdır. Buna göre mümkün $\dfrac{r}{s}$ değerleri $-+1/6,-+1/3,-+2/3,-+1,-+2,-+4,-+4/3,-+1/2$ olur. Bunlar polinomda yerine yazarak denenirse $-2,-1-1/2,2/3$ sayılarının polinomun kökleri olduğu görülür.

---

Teşekkurler $#matbaz$ hocam

Alper  Hocam sondakini anlayamadim ya neden 1/6 dedik mesela r böler 4, boler 6 ise r ve s için 24 alamaz  orda kafam karisti

---

rica ederim, kolay gelsin..

Answer 1

_$(x-x_1).(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$

$x^4-(x_1+x_2+x_3+x_4)x^3+(x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2- (x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x+x_1x_2x_3x_4=0$

Diğer taraftan      $a\neq0$ olmak üzere, $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\Rightarrow x^4+\frac bax^3+\frac cax^2+\frac dax+\frac ea=0$ olur. Bu ikisinin eşitliğinden köklerle katsayılar arasındaki ilişki :

$-\frac ba=x_1+x_2+x_3+x_4$

$\frac ca= x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4$

$-\frac da=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4$  ve son olarak

$\frac ea=x_1x_2x_3x_4$ olur.  Eğer verilen denklemdeki gibi $a=1$ olarak alınırsa,

$- b=x_1+x_2+x_3+x_4$

$c= x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4$

$-d=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4$  

$e=x_1x_2x_3x_4$ olur. Demek ki sabit terim köklerin çarpımından oluşuyor. Eğer köklerden tam sayı olan varsa bu kesinlikle sabit terimin çarpanlarından birisi olmak zorundadır. O yüzden sabit terimin çarpanlarını öncelikle kontrol ediyoruz.