Ramanujan $\tau$-fonsksiyonu için Euler çarpımı

Question

Elimizde $(n,m)=1$ olduğunda $\tau(nm)=\tau(n)\tau(m)$ eşitliğini sağlayan bir fonksiyon olsun ve asal güçlerinde de şöyle ekstra bir özellik sağlanıyor olsun: $$\tau(p^{n+1})=\tau(p)\tau(p^n)-p^{11}\tau(p^{n-1})$$

Son olarak $\tau(0)=0$ ve $\tau(1)=1$ olsun. Bu bilgiler ışığında ve aşağıdaki iki soruyu kullanarak şu eşitliği ispatlayın: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}=\prod_p\big(1-\frac{\tau(p)}{p^s}+\frac{1}{p^{2s-11}}\big)^{-1}$$

http://matkafasi.com/97161/uretec-fonksiyon-sorusu

http://matkafasi.com/4507/genellestirilmis-euler-carpimi

Not: Adı geçen $\tau(n)$ fonksiyonu $\Delta$ cusp formunun Fourier katsayılarıdır. Ancak bu sorunun çözümü için $\Delta$'nın tanımını bilmeye gerek yok. Yalnızca yukarıdaki özelliklerinin bilinmesi yeterli.Yukarıdaki iki özellik $\Delta$'nın tanımından doğrudan kolaylıkla çıkmıyor. Hatta Ramanujan $\tau$'nun yukarıdaki anlamda çarpımsal olmasını ve yinemeli formülasyonunu ispatlamamış, sanı olarak bırakmıştır. Daha sonra Mordell bu iki sanıyı teorem haline getirmiştir. Ramanujan'ın $\tau$ ile ilgili meşhur üçüncü sanısı ise daha çok beklemiştir çözülmek için. (bkz: Deligne).