Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
983 kez görüntülendi
Akademik Matematik kategorisinde (20 puan) tarafından  | 983 kez görüntülendi
R ve S halkası birimli olarak verilmediğinden doğru olmaz.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Daha önce bu soruya yanlış bir cevap vermiştim, onu kaldırdım.

R ve S halkaları birimli ise şöyle bir şeyler söyleyebiliriz:

  1. πR:R×SR fonksiyonu, R üzerine izdüşüm fonksiyonu olsun. Yani, πR(r,s)=r kuralı ile tanımlansın. Aynı şekilde πS fonksiyonu da S üzerine izdüşüm fonksiyonu olsun. Bu iki fonksiyon da örten halka homomorfizmasıdır. Bunu kanıtlamak kolay.
  2. Genel olarak, elimizde örten bir f:R1R2 halka homomorfizması varsa ve IR1 bir ideal ise, f(I) da R2'nin bir idealidir: f(I)'nın altgrup olduğu bariz. Şimdi, rR2 ve f(i)I alalım. rf(i)I olduğunu göstermemiz lazım. f örten olduğu için f(s)=r olacak şekilde bir sR1 vardır. Dolayısıyla, rf(i)=f(s)f(i)=f(si) olur. I bir ideal olduğu için si de I'dadır. Demek ki f(si)f(I) olur. 
  3. Şimdi, IR×S olsun. Birinci ve ikinci adımlardan dolayı πR(I), R'nin bir ideali ve πS(I) da S'nin bir idealidir.
  4. İddia: I=πR(I)×πS(I).
  5. Önce IπR(I)×πS(I) olduğunu gösterelim. (a,b)I olsun. πR(a,b)=aπR(I) ve πS(a,b)=bπS(I) olur. Dolayısıyla, (a,b)πR(I)×πS(I) olur.
  6. Şimdi IπR(I)×πS(I) olduğunu gösterelim. (a,b)πR(I)×πS(I) olsun. Yani, aπR(I) ve bπS(I) olsun. aπR(I) olduğundan bir sS için, (a,s)I olmak zorundadır. I bir ideal olduğu için (1,0)(a,s)=(a,0) da I'dadır. Aynı şekilde, (0,b) de I'dadır. Ve yine I bir ideal olduğu için (a,0)+(0,b)=(a,b) de I'dadır.
  7. 5 ve 6'dan dolayı I=πR(I)×πS(I) eşitliği doğrudur.

Halkalarımızda birim eleman olmadığını düşünürsek, Handan Hanım doğru olmadığını söylüyor. Ama henüz karşı örnek bulamadık.
(2.5k puan) tarafından 

2Z×2Z halkası içerisinde I=(4Z×4Z)((2+4Z)×(2+4Z)) altkümesi bir ideal gibi gözüküyor. Toplama işlemi altında kapalı, sıfırı içeriyor, her elemanın toplamsal tersi var ve 2Z×2Z'nin elamanları ile çarpma altında kapalı.

Ama A×B şeklinde değil. Diyelim ki bu şekilde olsun, yani I=A×B olsun. (4,4)I olduğu için 4B olur. (2,2)I olduğu için 2A olur. Demek ki (2,4)A×B olur. Ama (2,4)I.

6. maddeyi yazarken (1,0) ve (0,1) elemanlarını şayet R1 ve R2 halkaları birimli olmasa böyle özel seçim yapamayız.

Evet orası önemli. Zaten, en başta birimli olduğunu varsaydım halkaların.

20,299 soru
21,844 cevap
73,549 yorum
2,756,739 kullanıcı