Question

R birimli bir halka, A ideali , x ∈ R idempotent eleman olsun. xAx = xRx ∩ A olup olmadığını ve (xRx) / (xAx) ≅ (x+A) (R/A)(x+A) olup olmadığını gösteriniz.

Comments

Ilk soru icin yapman gereken tek sey, bir taraftan bir eleman alip bu elemanin diger tarafin da bir elemanin oldugunu gostermek. Ya da buna bir karsi ornek bulmak. Bir halka al, bir ideal al ve bir idempotent eleman al. Dene, oluyor mu olmuyor mu? Oluyorsa, neden oluyor? Bu gozlemi kullanarak soruyu kanitlayabilir misin? Olmuyorsa al sana karsi ornek.

Ikinci soru icin de ayni sey gecerli.

Answer 1

Ilk soruya biraz bakalim.

$xax \in xAx$ olsun. Cok bariz bir seklide $xax \in xRx$ (Bunun nedeni ne?), ayni zamanda $xax \in A$ (Peki bunun nedeni ne?). Demek ki $xax$ kesisimde. Yani, $xAx \subseteq xRx \cap A$. Simdi, $xRx \cap A \subseteq xAx$ oldugunu gosterelim. $a \in xRx \cap A$ olsun. Yani, $a \in A$ ve bir $r \in R$ icin $a = xrx = x^2rx^2 = xxrxx$. Devami cok zor olmasa gerek.

Ikinci soruya biraz bakalim.

Duzeltme:

Her $a \in R$ icin, $a + A \in R / A$  elemanini $\overline{a}$ olarak yazacagim. Cunku, genellikle islem yaparken, bu notasyonu daha kullanisli buluyorum.

$$f: xRx \to R/A \\ xrx \mapsto \overline{x} \; \overline{r} \; \overline{x}$$

fonksiyonu 

halka homomorfizmasidir goruntusu $\overline{x}(R/A)\overline{x}$'tir  ve cekirdegi $xRx \cap A$'dir (Sorunun ilk kisminda bunun $xAx$ oldugunu gosterdik). 

Dolayisiyla, izormorfizma teoreminden oturu $$xRx / ker f \cong Im f$$

yani

$$ xRx/xAx \cong \overline{x}(R/A)\overline{x}$$

Comments

$A$ ideal değil ki nasıl göstersin ideal olduğunu Özgür bey!(ikinci kısım) Bir de ilk kısımda $A$ ideal olduğundan $xAx\subseteq xRx \cap A$ açıktır. $a=xrx$ soldan ve sağdan $x$ ile $a$ yı çarptığımızda $xax=x^2rx^2=xrx=a \in xAx$ yani devamı  yok.

---

Evet yahu! Bu saatten sonra, "Ben bilerek oyle dedim, yanlis oldugunu kendisi gorsun diye!" desem de inanmazsiniz di mi :) Ust ucgensel matrisleri denedim simdi, esitlik dogru bu ornek icin. Bugun icin bir baska alistirma oldu bana bu soru.

Ilk soruda da tam olarak onu soylemek istedim aslinda. Devami cok zor olmasa gerek, cunku devami yok :)

---

Yinede yanlış yönlendirmeyelim. Mutlaka siz doğrusunu   görmüşsünüzdür. Ancak soruyu soran arkadaşlar lisans düzeyinde. 

---

Ilk soruda yanlis yonlendirdigimi dusunmuyorum, zira bir esitlik yarim biraktim. $xrx = a$ ise $xxrxx = ?$. Bunu tamamlamak zor olmasa gerek, buydu soylemek istedigim. Bunun herhangi bir seviye gerektirmedigini dusunuyorum.

Ikincisi icin, cuvalladigimi kabul etmem lazim. Simdilik siliyorum, cozumu bulunca duzenleyip tekrar yayinlarim. Siz de yardimci olursaniz, sahane olur, eger gorebildiginiz kolay bir karsi ornek varsa.

---

Yanlış anlaşıldıysam inanın üzgünüm.  Burada örnek çok kolay görünmüyor. Halka değişmeli olmamalı, seçilen ideal nilpotent olmamalı, halka domain olmamalı. yani ilk görebildiklerim böyle. Ayrıca $M_{2}(\Bbb{Z})$ de karşıt örnek yok gibi. Biraz yoğunum ancak örnek düşüneyim.

---

Yok yahu, uzulmeyin :) Ne kadar dogru, duzgun, ise yarar cevaplar yazabilirsek, o kadar guzel ve ise yarar bir yer olur burasi. Ben seviniyorum birisi beni duzelttiginde ya da bir yorum yaptiginda.

Soru guzelmis cidden. Ben de degismeli olmamasi gerektigi icin ve gozle gorulur bir idempotent eleman yazabilirim diye matris halkasini almistim ama ornek cikmadi.

---

$f:xRx/ xAx \rightarrow (x+A)R/A(x+A)$ bağıntısını $f(xrx+xAx)=xrx+A$ ile tanımladığımızda $f$ iyi-tanımlı, $1-1$ , örten ve halka homomorfizması olduğunu görüyorum. Kontrol lütfen. Dolayısıyla karşıt örnek aramak absurd! (Sorunun ilk kısmından yararlanmamız gerekiyor)

---

Su sekilde yazsam olur mu?

Her $a \in R$ icin $\overline{a} = a + A \in R / A$ olmak uzere

$$f: xRx \to (R/A) \\ xrx \mapsto \overline{x} \; \overline{r} \; \overline{x}$$

fonksiyonu iyi tanimlidir, bir halka homomorfizmasidir ve goruntusu $\overline{x}(R/A)\overline{x}$'tir ve cekirdegi $xRx \cap A$'dir (Sorunun ilk kisminda bunun $xAx$ oldugunu gosterdik). Dolayisiyla, izomorfizma teoreminden oturu

$$xRx / ker f \cong Im f$$

yani

$$ xRx/xAx \cong \overline{x}(R/A)\overline{x}$$

---

Özgür bey; yazdıklarınız doğru bence. Sadece $f$ tanımlandıktan sonra fonksiyonu iyi tanımlıdır demek uygun olmaz gibi. Çünkü fonksiyon ise zaten iyi tanımlıdır. Oraya $f$ bağıntısı diyelim isterseniz. Çözümde "aşağıda hata var...yukarıda hata" var kısmını kaldıralım ne dersiniz!

---

Kaldırıyorum. Ben bu son yorumunuzu görmemişim.