Halka

Question

Bir halkada regüler eleman (regular element), singüler eleman (singular element), singüler olmayan eleman (nonsingular element) ve tersinir eleman (invertible element) kavramlarını nasıl tanımlıyorsunuz? Bu kavramların tanımlanabilmesi için halkanın birimli olması gerekir mi? Regular eleman, nonsingular eleman ve invertible eleman kavramları aynı kavramlar mı? Yoksa aralarında nüans var mı?

Answer 1

$R$ bir halka olmak üzere $x\ne 0$ ve $x\in R$ ne sağ nede sol sıfır bölen oluyorsa $x$ e reguler eleman denir. Bu elemanlar tersinir olmak zorunda değildir. Dolayısıyla halkanın birimli olması da gerekmiyor. Örneğin; $R=Mat_{2}(\Bbb{Z})$ bilinen matris toplama ve çarpma işlemleriyle halkasını düşünelim. $A=\left(
  \begin{array}{cc}
   2 &0  \\
   0  & 2 \\
  \end{array}
\right)$ matrisi reguler olmasına rağmen tersinir değildir.

$R$ birimli bir halka olmak üzere $x\in R$ için eğer $x$ bir çarpımsal terse  sahipse $x$ e non-singuler eleman değilse singuler eleman denir (Matrislerden aşinayız). Birden fazla elemana sahip olan Bölmeli halkalarda(division rings) her elemanın tersi mevcut. Dolayısıyla halka non-singuler.

$R$ birimli bir halka olmak üzere $x\in R$ için $xy=yx=1$ olacak şekilde $y\in R$ varsa $x$ e tersinir eleman denir.

Yani kavramlar farklı ve bu kavramları biz tanımlamadık!

Comments

Dogru anlamis miyim?

$x$'e non-singuler diyoruz eger $xy = 1$ olacak sekilde bir $y$ varsa YA DA $zx = 1$ olacak sekilde bir $z$ varsa. Yani sol ters ya da sag terse sahipse.

$x$'e tersinir diyoruz eger $xy = yx = 1$ olacak sekilde bir $y$ varsa.

Dogru anlamamissam, "carpimsal terse sahipse" derken ne demek istiyoruz?

---

Bu soruyu senden bekliyordum Özgür.