C ve R halka çiftleri izomorf mudur?

Question

$\mathbb{C}$ ile $\mathbb{R}$ kümelerinin izomorf olması için $f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ fonksiyonunun izomorfizm olması gerekiyor. İzomorfizm olması için de birebir, örten ve homomorfizm olması gerektiğini biliyoruz. Fakat burada $f(z)= |z|= \sqrt{a^2+b^2}$ kabul edilirse homomorfizm özelliği sağlanmıyor$(f(z_1+z_2) \ne f(z_1)+f(z_2))$. Bu yüzden izomorfizm değildir diye mi cevap verilmeli yoksa fonksiyonun tanımı $f(z)=Re(z)$ olarak değiştirilip izomorfizm olduğu mu gösterilmeli. Fonksiyonun tanımına göre izomorf olup olmadıklarının değişkenlik göstermesi mantıksız geliyor fakat nasıl göstermem gerektiği konusunda kafam karıştı. Yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.

Comments

Başka bir $f$  var olabilir. Tüm fonksiyonları deneyemezsin.

$\mathbb{C}$ ile $\mathbb{R}$ arasındaki fark(lar)dan yararlanmaya çalışabilirsin.

---

Ayrıca halka olarak izomorfluğa bakıyorsunuz. Sadece toplama işlemine bakmanız yeterli değil, çarpmayada saygı duymalı.

Answer 1

Eğer izomorf olsalardı eşleşen elemanlar arasında mertebe korunurdu ama $\mathbb R$'de mertebesi $4$ olan bir eleman mevcut değil.

Answer 2

Varsayalim ki 

Oyle bir $f : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ var ki sunlar saglaniyor:

1. $f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$
2. $f(a+b) = f(a) + f(b)$
3. $f$ bijeksyon

Bu fonksiyonu inceleyelim biraz.

$f(1) = f(1\cdot1) = f(1) \cdot f(1)$

buradan $f(1) = 0$ veya $f(1) = 1$ cikarimi yapabiliriz ama $f(1) = 0$ a bakmaya cok gerek yok (neden?) 

Dikkat edelim ki,

$1=f(1) = f(-1 \cdot -1) = f(-1) \cdot f(-1)$ 

Buradan $f(-1)= -1$ cikarimini yapabiliriz. 

Acaba $f(i)$ ne ?

$f(i) \cdot f(i) = f(i \cdot i) = f(-1) = -1$

yani

$f(i) \cdot f(i) = -1$

Bunu saglayan bir reel sayi yok. Celiski!