Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
332 kez görüntülendi
$\mathbb{C}$ ile $\mathbb{R}$ kümelerinin izomorf olması için $f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ fonksiyonunun izomorfizm olması gerekiyor. İzomorfizm olması için de birebir, örten ve homomorfizm olması gerektiğini biliyoruz. Fakat burada $f(z)= |z|= \sqrt{a^2+b^2}$ kabul edilirse homomorfizm özelliği sağlanmıyor$(f(z_1+z_2) \ne f(z_1)+f(z_2))$. Bu yüzden izomorfizm değildir diye mi cevap verilmeli yoksa fonksiyonun tanımı $f(z)=Re(z)$ olarak değiştirilip izomorfizm olduğu mu gösterilmeli. Fonksiyonun tanımına göre izomorf olup olmadıklarının değişkenlik göstermesi mantıksız geliyor fakat nasıl göstermem gerektiği konusunda kafam karıştı. Yardımcı olabilirseniz çok sevinirim.
Lisans Matematik kategorisinde (13 puan) tarafından  | 332 kez görüntülendi
Başka bir $f$  var olabilir. Tüm fonksiyonları deneyemezsin.

$\mathbb{C}$ ile $\mathbb{R}$ arasındaki fark(lar)dan yararlanmaya çalışabilirsin.
Ayrıca halka olarak izomorfluğa bakıyorsunuz. Sadece toplama işlemine bakmanız yeterli değil, çarpmayada saygı duymalı.

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eğer izomorf olsalardı eşleşen elemanlar arasında mertebe korunurdu ama $\mathbb R$'de mertebesi $4$ olan bir eleman mevcut değil.
(234 puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Varsayalim ki 

Oyle bir $ f : \mathbb{C} \to \mathbb{R} $ var ki sunlar saglaniyor:

  1. $f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$
  2. $f(a+b) = f(a) + f(b)$
  3. $f$ bijeksyon

Bu fonksiyonu inceleyelim biraz.

$f(1) = f(1\cdot1) = f(1) \cdot f(1)$

buradan $f(1) = 0$ veya $f(1) = 1$ cikarimi yapabiliriz ama $f(1) = 0$ a bakmaya cok gerek yok (neden?) 

Dikkat edelim ki,

$1=f(1) = f(-1 \cdot -1) = f(-1) \cdot f(-1)$ 

Buradan $f(-1)= -1$ cikarimini yapabiliriz. 

Acaba $f(i)$ ne ?

$f(i) \cdot f(i) = f(i \cdot i) = f(-1) = -1$

yani

$f(i) \cdot f(i) = -1$

Bunu saglayan bir reel sayi yok. Celiski!

 

 

 

(1.6k puan) tarafından 
20,219 soru
21,752 cevap
73,354 yorum
1,988,202 kullanıcı