Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
74 kez görüntülendi

Merhaba sayın hocalarım.
R*R kümesinden sıralı bir halka üretebilir miyiz?
(İstediğim sıralama bağıntısı aşağıdaki resimde tanımlıdır) 

önce Akademik Matematik kategorisinde (47 puan) tarafından  | 74 kez görüntülendi
Hangi çarpma işlemini kullaniyoruz?

(Toplamanın, koordinatları toplama olduğunu varsayıyorum)
Aslında sorum şöyle "Acaba öyle toplama ve çarpma bulabilir miyiz ki sıralama bağıntısı tnımlanabilir olsun?"
Çünkü zaten Complex sayılardaki işlemlerle bulunamaz olduğunu ispatlayabildim.
Toplamayı da kafana göre tanımlama hakkın olduğunu varsayalım. $\mathbb R^2$ yerine de daha genel olarak $\mathbb R$ ile arasında birebir-örten bir $f$ fonksiyonu olan bir $X$ kümesi alalım.

$X$ kümesi üzerindeki işlemleri "elemanları önce $\mathbb R$'ye götürüp orada işlem yap" kuralı ile tanımlayalım. Mesela $f(x)=2$ ve $f(y)=3$ ise $x+y=5, xy=6$ olsun. Bu durumda sıralamayı da aynı şekilde tanımlayabilirsin.
Ha tabii "gerçek hayatta" istediğimiz başka şeyler de var, mesela Doğan hocanın da dediği gibi toplamayı koordinat toplaması olarak almak istemek çok doğal bir istek. Yoksa zaten adına niye $\mathbb R^2$ diyelim.
Ozgür Hocam, her küme için böyle bir f fonksiyonu bulabilir miyiz ki?
Acaba 3. şart sağlanıyor mudur?

"her küme için böyle bir f fonksiyonu bulabilir miyiz ki?"

$\mathbb{R}$ ile aynı kardinaliteye sahip olan (zaten aynı kardinaliteye sahip olmanın tanımı bu) her küme için böyle bir fonksiyon vardır.

Cantor, $\mathbb{R}$ ile $\mathbb{R}^2$ nin aynı kardinaliteye sahip olduğunu gösterdi ($f$ nin formülünü yazmak pek kolay değil)

Cantor, bunu, Dedekind e yazdığı mektupta şöyle ifade etmiş: (Şurada )

“Je le vois, mais je ne le crois pas!” (“I see it, but I don’t believe it!”) ("Görüyorum, fakat inanmıyorum")

Her kume siralanabilir diye bir teorem yok mu bu arada ? Secim aksyomu gerekiyor gerci galiba kanitlamak icin
Soruda  bir de halka yapısı var, toplama ve çarpmadan bahsediliyor.
19,119 soru
21,037 cevap
69,857 yorum
23,349 kullanıcı