Neden R*R üzerinde bir sıralama bağıntısı tanımlanamaz?

Question

Merhaba sayın hocalarım.
R*R kümesinden sıralı bir halka üretebilir miyiz?
(İstediğim sıralama bağıntısı aşağıdaki resimde tanımlıdır) 

Comments

Hangi çarpma işlemini kullaniyoruz?

(Toplamanın, koordinatları toplama olduğunu varsayıyorum)

---

Aslında sorum şöyle "Acaba öyle toplama ve çarpma bulabilir miyiz ki sıralama bağıntısı tnımlanabilir olsun?"

---

Çünkü zaten Complex sayılardaki işlemlerle bulunamaz olduğunu ispatlayabildim.

---

Toplamayı da kafana göre tanımlama hakkın olduğunu varsayalım. $\mathbb R^2$ yerine de daha genel olarak $\mathbb R$ ile arasında birebir-örten bir $f$ fonksiyonu olan bir $X$ kümesi alalım.

$X$ kümesi üzerindeki işlemleri "elemanları önce $\mathbb R$'ye götürüp orada işlem yap" kuralı ile tanımlayalım. Mesela $f(x)=2$ ve $f(y)=3$ ise $x+y=5, xy=6$ olsun. Bu durumda sıralamayı da aynı şekilde tanımlayabilirsin.

---

Ha tabii "gerçek hayatta" istediğimiz başka şeyler de var, mesela Doğan hocanın da dediği gibi toplamayı koordinat toplaması olarak almak istemek çok doğal bir istek. Yoksa zaten adına niye $\mathbb R^2$ diyelim.

---

Ozgür Hocam, her küme için böyle bir f fonksiyonu bulabilir miyiz ki?

---

Acaba 3. şart sağlanıyor mudur?

---

"her küme için böyle bir f fonksiyonu bulabilir miyiz ki?"

$\mathbb{R}$ ile aynı kardinaliteye sahip olan (zaten aynı kardinaliteye sahip olmanın tanımı bu) her küme için böyle bir fonksiyon vardır.

Cantor, $\mathbb{R}$ ile $\mathbb{R}^2$ nin aynı kardinaliteye sahip olduğunu gösterdi ($f$ nin formülünü yazmak pek kolay değil)

Cantor, bunu, Dedekind e yazdığı mektupta şöyle ifade etmiş: (Şurada )

“Je le vois, mais je ne le crois pas!” (“I see it, but I don’t believe it!”) ("Görüyorum, fakat inanmıyorum")

---

Her kume siralanabilir diye bir teorem yok mu bu arada ? Secim aksyomu gerekiyor gerci galiba kanitlamak icin

---

Soruda  bir de halka yapısı var, toplama ve çarpmadan bahsediliyor.