Gerçel sayılar üzerinde bir iyi sıralama bağıntısı olduğunu seçim beliti (ya da iyi sıralama teoremi) kullanarak kanıtlayabiliriz. Aynı zamanda bu belitin kullanılmasının gerekli olduğunu da biliyoruz zira ZF kümeler kuramı tutarlı ise ZF+DC+"Gerçel sayılar iyi sıralanamaz" kuramı da tutarlıdır.
Peki, seçim belitini şöyle ya da böyle kullanmak zorundayız diyelim. Bu gene de gerçel sayılar üzerinde bir sıralama bağıntısını "açıkça" yazamayacağımızı kanıtlamıyor. Gerçel sayılar üzerindeki bir sıralama bağıntısı ne kadar "açıkça" ifade edilebilir? Böyle bir bağıntının ne kadar karmaşık olması gerektiğini izdüşümsel hiyerarşi üzerinden anlamaya çalışalım.
Öncelikle eğer inşa edilebilirlik beliti doğru ise gerçel sayıların $\Delta^1_2$ bir iyi sıralaması vardır. İnşa edilebilirlik beliti ise ZF ile göreli olarak tutarlıdır. Hatta gerçel sayıları bir kenara bırakırsak $V=L$ ise tüm kümeler evreninin tanımlanabilir bir iyi sıralaması yazılabilir. (Referans olarak, mesela, Jech'in kümeler kuramı kitabı Teorem 13.18'e bakılabilir. Buradan gerçel sayılar için bir $\Delta^1_2$ iyi sıralama bağıntısı çıkarmak bariz değil ama yapılabiliyor.)
Gerçel sayıların $\Delta^1_2$ bir iyi sıralaması olması şu demek: $\mathbb{R}^4$'ün öyle bir Borel alt kümesi vardır ki bu kümeyi üç boyuta izdüşürdükten sonra tümleyenini alıp tekrar iki boyuta izdüşürdüğümüzde elde ettiğimiz küme $\mathbb{R}$ için bir iyi sıralama bağıntısı oluyor. Yani gerçel sayıların "çok karmaşık olmayan" bir küme yardımıyla iyi sıralanabileceği kümeler kuramıyla tutarlı.
Bu karmaşıklığı daha aşağı çekebilir miyiz? Mesela gerçel sayıların $\Sigma^1_1$ ya da $\Pi^1_1$ bir iyi sıralaması bulunabilir mi? Bu sorunun cevabı hayır. Aşağıdaki teoremin kanıtı, mesela, Kechris'in klasik betimsel kümeler kuramı kitabında bulunabilir (Teorem 8.48).
Teorem: $X$ boş olmayan mükemmel bir Leh uzayı olsun ve $R \subseteq X \times X$ bir iyi sıralama bağıntısı olsun. Bu durumda $R$ kümesi Baire özelliğine sahip değildir.
Öte yandan $\Sigma^1_1$ ya da $\Pi^1_1$ kümeler Baire özelliğine sahiptir. Dolayısıyla gerçel sayıların hiçbir sıralamasının izdüşümsel karmaşıklığı bu seviyede olamaz. Yukarıdaki teoremi kullanmak istemezseniz de Borel kümeler (yani $\Delta^1_1$ seviyesi) için şöyle kısa bir kanıt verilebilir. Kanıt kolay olsun diye kanıtı gerçel sayılar yerine $S^1$ üzerinde yapacağım ama sayılamaz tüm standart Borel uzayları birbirine eş yapısal olduğu için bu sonucu $\mathbb{R}$'ye transfer etmek kolay.
Teorem: $S^1$ kümesinin hiçbir iyi sıralaması $S^1 \times S^1$ uzayının bir alt kümesi olarak Borel değildir.
Kanıt: Diyelim ki $R \subseteq S^1 \times S^1$ bir Borel iyi sıralama bağıntısı olsun. Şimdi $e^{i \theta} \mapsto e^{i (\theta+n)}$ şeklinde tanımlanan $\mathbb{Z}$-etkisinin yörünge denklik bağıntısına bakalım. $R$ kümesi Borel olduğu için bu bağıntı kullanılarak ilgili yörünge denklik bağıntısının her denklik sınıfından tek bir eleman seçen Borel bir $T \subseteq S^1$ kümesi bulunabilir. Bu durumda $T$ kümesi $S^1$ üzerindeki Lebesgue ölçüsüne göre ölçülebilir olmak zorundadır ancak $S^1$ üzerindeki Lebesgue ölçüsü rotasyon altında değişmez olduğu için $T$ ölçülebilir olamaz. Demek ki böyle bir Borel $R$ bağıntısı bulunamaz.
Benzer şekilde Sierpinski'nin $\mathbb{R}$'nin hiçbir iyi sıralamasının $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$'nin bir alt kümesi olarak ölçülebilir bir küme olmadığını söyleyen bir teoremi var. Kısaca $\mathbb{R}$'nin iyi sıralamaları "patolojik" kümeler olmak zorunda.
Gerçel sayıların $\Delta^1_2$ bir iyi sıralamasının ZF ile tutarlı olduğunu yazmıştık. Peki bunun tersi doğru mu? Yani gerçel sayıların hiçbir iyi sıralamasının izdüşümsel hiyerarşide bu seviyede olmadığı ZF ile tutarlı mı? Çeşitli büyük kardinal ya da izdüşümsel belirlenimcilik varsayımları altında gerçel sayıların hiçbir izdüşümsel iyi sıralamasının olmadığı da kanıtlanabilir. Bu büyük kardinal aksiyomlarını varsayarsak, gerçel sayıların pek "açıkça ifade edilebilir" bir iyi sıralamasının yazılamayacağını söyleyebiliriz.
Kısaca, soruda istenen denklik bağıntısının var olduğunu kanıtlayabiliriz ama bu bağıntıyı "açıkça" ifade edip edemeyeceğimiz ZFC kümeler kuramı belitlerinden bağımsız. Tabii her halikarda en azından $\Sigma^1_1$ seviyesinde iyi sıralamalar olmadığını söyleyebiliyoruz.