H bir halka olsun. H×H kümesinin
(x₁,y₁)+(x₂,y₂)=(x₁+x₂,y₁+y₂)ve
(x₁,y₁).(x₂,y₂)=(x₁x₂,x₁y₂+x₁y₁) işlemlerine göre halka olduğunu gösteriniz.
H1 aksiyomunun ispatından yana hiçbir sorunum yok. Yalnız H2 çarpım işleminin asosyatifliği ve H3 dağılma aksiyomlarını gösterirken sorun yaşıyorum. Asosyatifliği göstermek için:
(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃))=((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃) eşitliğini göstermem gerektiğini düşünerek verilen işlemi uyguluyorum.
(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃))=(x₁,y₁).(x₂x₃,x₂y₃+x₂y₂)
=(x₁x₂x₃,x₁(x₂y₃+x₂y₂)+x₁y₁)=(x₁x₂x₃,x₁x₂y₃+x₁x₂y₂+x₁y₁))
sonucu elde ediliyor. Diğer taraftan sağ taraftaki işlemi verilen 2. işleme göre uyguladığımda;
((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃)=(x₁x₂,x₁y₂+x₁y₁).(x₃,y₃)
=(x₁x₂x₃,x₁x₂y₃+x₁x₂(x₁y₂+x₁y₁))=(x₁x₂x₃,x₁x₂y₃+x₁x₂y₂+x₁x₂y₁)
sonucunu elde ediyorum. İki ifadenin birinci bileşenleri eşit geliyor fakat ikinci bileşenlerin en sonundaki x₁y₁ ve x₁x₂y₁ ifadelerinin eşit olmadığı açıkça görülüyor. Bunun sebebini çözemiyorum nerede hata yaptığımı bulamıyorum yardımcı olabilir misiniz lütfen?