Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
321 kez görüntülendi
$H$ bir halka olsun. $H\times H$ kümesinin

$(x₁,y₁)+(x₂,y₂) = (x₁+x₂ , y₁+y₂) $ve

$(x₁,y₁).(x₂,y₂) = (x₁x₂ , x₁y₂+x₁y₁)$ işlemlerine göre halka olduğunu gösteriniz.

 

$H1$ aksiyomunun ispatından yana hiçbir sorunum yok. Yalnız $H2$ çarpım işleminin asosyatifliği ve $H3$ dağılma aksiyomlarını gösterirken sorun yaşıyorum. Asosyatifliği göstermek için:

$(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃)) = ((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃)$ eşitliğini göstermem gerektiğini düşünerek verilen işlemi uyguluyorum.

$(x₁,y₁).((x₂,y₂).(x₃,y₃)) = (x₁,y₁).(x₂x₃ , x₂y₃+x₂y₂)$

$=(x₁x₂x₃, x₁(x₂y₃+x₂y₂) + x₁y₁) = (x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂y₂ + x₁y₁))$

sonucu elde ediliyor. Diğer taraftan sağ taraftaki işlemi verilen 2. işleme göre uyguladığımda;

$((x₁,y₁).(x₂,y₂)).(x₃,y₃) = (x₁x₂, x₁y₂ + x₁y₁).(x₃,y₃)$

$=(x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂(x₁y₂ + x₁y₁)) = (x₁x₂x₃, x₁x₂y₃ + x₁x₂y₂ + x₁x₂y₁)$

sonucunu elde ediyorum. İki ifadenin birinci bileşenleri eşit geliyor fakat ikinci bileşenlerin en sonundaki $x₁y₁$ ve $x₁x₂y₁$ ifadelerinin eşit olmadığı açıkça görülüyor. Bunun sebebini çözemiyorum nerede hata yaptığımı bulamıyorum yardımcı olabilir misiniz lütfen?
Lisans Matematik kategorisinde (17 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 321 kez görüntülendi
Çarpma tanımı

$(x_1,y_1).(x_2,y_2) = (x_1x_2 , x_1y_2+x_2y_1)$ şeklinde olabilir mi?
hayır maalesef tanım bu şekilde verilmiş hocaya da sordum böyle olduğunu söyledi o yüzden anlayamıyorum:(

Hocanız bir yazım hatası yapmış olabilir.
Kendisine bir daha sorsanız iyi olur.

Soracağım mutlaka çok teşekkür ediyorum iyi akşamlar
$H$ halkası ne olursa olsun bu işlemlerle $H \times H$ kümesi bir halka olamaz. Senin getirdiğin yerden şöyle bir karşı örnek bulabilirsin:

$r = (1,1), s=(0,1), t=(1,0)$ olsun. Bu durumda $(rs)t=(0,0)$ ve $r(st) = (0,1)$.

Bunu hocaya götürüp aha karşıörnek buldum diyebilirsin.

Doğan hocanın dediği şekilde olduğunda da asosyatif olduğunu gösterirsen, hoca için soruyu da düzeltmiş olursun.
Yazım hatası olduğunu onayladı bugün, sorun kalmadı neyse ki:) Çok teşekkür ediyorum bu da eklenebilir tabii en azından çabalarımın boşa çıkmaması adına:)
20,239 soru
21,758 cevap
73,398 yorum
2,062,318 kullanıcı