Question

$\displaystyle \int _{1}^{2}\left[ \sqrt {2-\left( x-1\right) ^{2}}-\left( x-1\right) \right]dx$ integralinin değeri kaçtır?

Answer 1

Önce verilen integrali iki integralin toplamı gibi yazalım. 

$I=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}-(x-1)\right]dx=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}\right]dx-\int_1^2(x-1)dx$

$I_1=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}\right]dx$ ve $I_2=\int_1^2(x-1)dx$ olsunlar. Şimdi bu integralleri ayrı ayrı bulalım. $I_1$'de $x-1=u$ değişken değiştirmesi yaparsak, 

$I_1=\int_0^1\sqrt{2-u^2}  du$ şimdi de   $u=\sqrt2.sin\alpha$   dönüşümünü uygulayalım.

$I_1=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} cos^2\alpha d\alpha=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1+cos2\alpha) d\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac 12$  olacaktır.

$I_2=\int_1^2(x-1)dx=\frac{x^2}{2}-x\bigg]_1^2=\frac 12$ olur. Böylece istenen integral $I=I_1-I_2=\frac{\pi}{4}$ olacaktır.

 

Comments

Hocam elinize sağlık, çok güzel çözmüşsünüz. İkimizin çözümleri nedense uyuşmadı, kendiminkini kontrol ettim, sizinkini de kontrol ettim, ikisinde de bir yanlışlık göremedim. Lakin ikisinde de hata olmaması tabi ki çelişki :) Siz bir hata görebiliyor musunuz acaba?

Answer 2

$x-1=u$ dönüşümü yapalım. Aslında yapmayabiliriz de, ama daha kolay görebilmek açısından :)

$\displaystyle \int \limits_0^1 \left[\sqrt{2-u^2}-u \right]du$ olarak yazalım. Bu integralin grafiğinden görmek, hesaplamaktan çok daha kolay.

Bizden istenen 1. bölgede doğrunun böldüğü çemberin üst parçası. Onu bulmak gayet basit...

$\frac{45^\circ}{360^\circ}.\pi.\sqrt{2}^2=\frac{\pi}{4}$

Comments

Sayın @ Moriartied uyarınız için teşekkürler. Neden sonuçları uyuşmadı biliyor musun? Ben integralleri çıkaracağıma toplamışım:)) sen de $\frac{45}{360}=\frac 18$ yerine $\frac 29$ yazmışsın ondan. Ben düzelttim. Sizde düzeltirseniz, soru sahibinin elinde iki güzel çözüm (özelliklede de sizin ki) olur.

---

Çok teşekkürler hocam :) Nasıl gözden kaçırmışım bunu ya?

---

çok teşekkürler hocam iki çözümde çok iyi ve anlaşılır

---

Önemli değil.Kolay gelsin.

---

Ne demek, iyi çalışmalar :)