Önce verilen integrali iki integralin toplamı gibi yazalım.
$I=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}-(x-1)\right]dx=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}\right]dx-\int_1^2(x-1)dx$
$I_1=\int_1^2\left[\sqrt{2-(x-1)^2}\right]dx$ ve $I_2=\int_1^2(x-1)dx$ olsunlar. Şimdi bu integralleri ayrı ayrı bulalım. $I_1$'de $x-1=u$ değişken değiştirmesi yaparsak,
$I_1=\int_0^1\sqrt{2-u^2} du$ şimdi de $u=\sqrt2.sin\alpha$ dönüşümünü uygulayalım.
$I_1=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} cos^2\alpha d\alpha=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1+cos2\alpha) d\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac 12$ olacaktır.
$I_2=\int_1^2(x-1)dx=\frac{x^2}{2}-x\bigg]_1^2=\frac 12$ olur. Böylece istenen integral $I=I_1-I_2=\frac{\pi}{4}$ olacaktır.