Hilbert Uzayında Kapalı Küme

Question

$H$ herhangi bir Hilbert uzayı ve $\emptyset \neq A\subset H$ olmak üzere $$A^{\bot}:=\{x\mid y\in A\Rightarrow x\bot y\}$$ kümesi, $H$ Hilbert uzayının kapalı bir alt kümesi midir? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$A^{\bot}=\bigcap_{y\in A}T_y^{-1}(\{0\}),\quad (T_y(x)=<x,y>)$ (ve kapalı kümelerin herhangi kesişimi de kapalı) olduğundan (her $y\in H$ için) $T_y$ nin sürekli olduğunu göstermek yeterlidir. ($A=\emptyset$ iken de $A^{\bot}=H$ olur ve iddia yine doğrudur)

Comments

$$T_y(x)=<x,y>$$ kuralı ile verilen $$T_y:H\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu da süreklidir. O halde eksik bir şey kalmadı. Teşekkür ederim.