Bir operatörün normu ve sınırlılığı?

Question

$T:C[0,1] \to \mathbb{R}$ , $f\longmapsto\int_{0}^{1}f(x)dx$ dönüşümünün sınırlı olduğunu ve $\Vert T \Vert =1$ olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$\mid T(f)\mid=\left|\int_{0}^{1}f(x)dx\right|\leq\int_{0}^{1} \mid f(x)\mid dx\leq\parallel f\parallel_{\infty}\int_{0}^{1}dx=\parallel f\parallel_{\infty}$$ olduğundan $T$ sınırlıdır. Ayrıca $f(x)=1$ $\forall x\in [0,1]$ için $$\mid T(f)\mid=1=\parallel f\parallel_{\infty}$$ olduğundan $\parallel T\parallel=1$ dir.

Answer 2

$f(x)=1$ fonksiyonunu almanın gayesi $\mid Tf\mid=\parallel f\parallel_{\infty}$ olacak şekilde bir $f\in C[0,1]$ bulabilmektir.