$f(6)$ kaçtır?

Question

$f^2(x)=f(2x)+2f(x)-2$

$f(1)=3$ 

olduğuna göre $f(6)$ kaçtır?

cevap:65

Comments

Bu soruda eksik bir şey var.

$f$ nin sürekli oluşu gibi bir ek kabül gerekli.

---

aynen aldım soruyu hocam soruda hata olabilir

---

İpucu:

$f(2x)-1=(f(x)-1)^2$ oldğu veriliyor. $g(x)=f(x)-1$ olsun. $g(x)$ in hangi özdeşliği sağladığını bulup $g(x)$ i bulmaya çalışınca verilen bilginin yetersizliği ("kuşkucu" matematikçilere) ortaya çıkıyor.

---

çözümü yok heralde .??

---

Aynı soru:

http://matkafasi.com/29444/begin-align-right-right-left-right-right-align-olduguna-kactir#a47265

da sorulmuş ve benzer yorumlar yapılmış.

---

Sorun şurada: (buna benzer ve ilişkili) olan)

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ şeklindeki fonksiyonları bulun sorusunda (bile) 

$f(x)=ax$ dışında (süreksiz) çözümler var.

Böyle olmayan fonksiyonları gözardı edip, $f(x)=ax$ yazarsak problemi "çözmüş" sayılır mıyız?

---

hocam valla pek bir şey anlamadım ...

---

Kısaca: Bu özelliğe sahip birden fazla fonksiyon var. 

Hangisi için $f(6)$ soruluyor diye sorgulamalıyız.

Answer 1

$f(6)=65$ iddiası ($f$ için başka bir özellik varsaymadan) doğru değil.

$f(x)=\begin{cases} 2^x+1,\quad x=2^m\ \textrm{ ise}(m\in\mathbb {Z})\\ 1,\ \quad\quad\quad \textrm{diğer durumlarda}\end{cases}$ olsun. $f$ belirtilen özdeşliği sağlar ama $f(6)=1$ dır.

Soruyu soran, bunun gibi (pek akla gelmeyecek) fonksiyonların varlığını gözden kaçırmış ve (yorumdaki) "$g(x)=2^x,\ f(x)=2^x+1$ olur" diye düşünmüş sanırım.

Comments

hocam cevap 65 ayrıca sonuca nasıl gidilir iyice kafam karıştı açıklarsanız sevinirim bende $[f(x)-1]^2$=$f(2x)-1$ eşitliği yazdım ama f(2) f(4) f(8) gibi katları bulabiliyorum 

---

Çözümde $4^x+1$ yerine $4^x-1$ yazmışım, onu şimdi düzelttim. Şimdi yazdıklarımı tekrar okursan demek istediğim belki anlaşılır. 

Özeti: bu ozdeşliği sağlayan pek çok fonksiyon var.

---

Bir kez daha düzelttim. $4^x$ değil $2^x$ olmalı.

---

tamam teşekkür ederim hocam