Şu adreste bir çözüm var, oradakini çeviriyorum.
Diyelim $u \in R$ bir eleman, ve $v$ diye bir sağ tersi var, yani $uv = 1$, o zaman
$v + (1 - vu) u^n$ elemanlarının her biri bir sağ ters: $$ u (v + (1-vu)u^n) = uv + u^{n+1} - u^{n+1} = 1.$$
Dahası bunların ikisinin eşit olduğunu varsaymak $u$'nun bir sol tersi olduğu sonucunu doğuruyor. Diyelim $n>m$ ve diyelim
$$ v + (1 - vu)u^n = v + (1- vu) u^m \Longrightarrow (1 - vu) u^{n-m} = (1-vu) $$
oradan da $$ \left((1 - vu) u^{n-m-1} + v\right) u = 1 $$ sonucunu verir. Yani $u$'nun bir de soldan tersi varmış.
O soldan terse $w$ diyelim. $w = w1 = w(uv) = (wu)v = 1v = v$, demek ki $v = w$.
Yani bir elemanın soldan ve sağdan birer tersi varsa o tersler birbirine eşit olmak zorundadır. Sağdan iki adet tersi varsa da o iki tersin ikisi de soldaki terse eşit olmak zorunda, demek ki birbirlerine eşit olmak zorundalar.
Sonuç olarak eğer bir halkada bir elemanın birden fazla tersi varsa $v + (1-vu) u^n$'lerin herbiri ayrı bir sağdan ters olmak durumunda, yani sonsuz adet sağdan tersi varmış.
Yalnız malesef bu cevap halkalarda $a*b=1$ eşitliğinin $b*a=1$ eşitliği anlamına gelmeyeceğini söylemiyor. Belki yukarıda bahsi geçen durum halkalarda hiç olmuyor. Olduğunu tahmin ediyorum ama şu anda aklıma bir örnek gelmiyor.