Question

Bir halkada $u$ tersinir, $a$ sıfır güçlü ve $ua=au$ ise $u+a$ tersinirdir.

Answer 1

$a$ sıfır güçlü olduğu için, $a^k=0$ olacak şekilde bir $k\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ vardır. Açık ki,

$(au^{-1})^k=0$. 

Şimdilik bu $k$ sayısının tek olduğunu varsayalım.O halde,

$1=1+(au^{-1})^k=(1+au^{-1})(1-au^{-1}+(au^{-1})^2-...+(au^{-1})^{k-1})$

yazılabilir ki bu da $1+au^{-1}$ elemanının tersinir olduğunu söyler. Tersinir iki elemanın çarpımı da tersinir olacağından,

$u+a=u(1+au^{-1})$

elemanı da tersinirdir. (Burada $ua=au$ olduğunu da kullanıyoruz)

Eğer kullandığımız $k$ sayısı çift olsaydı, $k$ yerine $k+1$ sayısını kullanabilirdik.

Answer 2

$a$ Sıfır güçlü olduğundan $u^{-1}a$ elemanı da Sıfır güçlü olur($au=ua$). Dolayısıyla $1+u^{-1}a$ tersinirdir. Ve halkada tersinir elemanlar grup oluşturduğundan $u(1+u^{-1}a)=u+a$ elemanı tersinir olur. Benzer şekilde $u-a$ elemanının da tersinir olduğu gösterilebilinir.