$ab$ tersinir ise $a$ ve $b$ tersinirdir.

Question

 $R$ bir halka olsun. O zaman $ab$ tersinir $\implies$ $a$ ve $b$ tersinirdir .
Bu teoremi nasıl kanıtlarsınız?
Ben şöyle bir teorem kullanıp gösteriyorum:

$\textbf{Teorem.}\textit{Bir halkada tersinir olmayan her eleman bir maksimal ideal içerisinde bulunur.}$ 
Diyelim ki $ab$ tersinir ve $a$ tersinir olmasın. O zaman $a$ elemanını içeren bir $\mathfrak{m}$ ideali vardır. $a$'yı sağdan $b$ ile çarparsam $ab \in \mathfrak{m}$ olur. $ab$'nin tersinir olması bize $(1)=\mathfrak{m}$ verir, çelişki. O zaman $a$ tersinir.
Şimdi bir $y \in R$ var mı öyle ki $by=1$:
$(ab)^{-1}ab=1$ eşitliği bize $(ab)^{-1}a$'nın $b$'nin tersi olduğunu verir.(İlgilendiğim halkaları değişmeli ve birimli kabul ediyorum o yüzden bu kadar rahatım.)

Comments

Direkt ikinci yontemi uygulayabilirsin (ya da ilk yontemi ayni zamanada $b$ icin).

$ab$ tersinir ise bir $c$ vardir ki $abc=1=a(bc)$ ve $cab=1=(ca)b$ olur. Bu da $a$ ve $b$'nin de tersinir olmasini gerektirir. 

---

Soruyu hortlatmak gibi olacak ama kısaca şu şekilde söyleyemez miyiz?

$ab$ tersinir ise $ab(b^{-1}a^{-1})=e_R=(b^{-1}a^{-1})ab$. Demek ki, $a$ ve $b$'nin tersleri mevcut. Belki, $ab$'nin tersinin $b^{-1}a^{-1}$ olduğunu nereden biliyorsun derseniz, gösterilebilir.

---

Göster. $a$ ve $b$'nin tersinin olduğunu göstermeden göstermelisin ki, sorudan ileri birkaç adım gitmiş olmamalısın.