bir kümenin ayrışımı nedir

Question

denklik bağıntısıyla ilgisi var

Answer 1

Tanım: $X$ herhangi bir küme olmak üzere $X$ kümesinin boştan farklı ikişer ikişer ayrık ve birleşimleri $X$ kümesini veren altkümelerinin oluşturduğu aileye $X$ kümesinin bir ayrışımı denir. Formel olarak

$$\mathcal{A}, X\text{'in ayrışımı}:\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lll} 1) \,\ A\in\mathcal{A}\Rightarrow A\neq \emptyset \\ 2) \,\ A,B\in\mathcal{A}\Rightarrow A\cap B=\emptyset \\ 3) \,\ X=\cup\mathcal{A}\end{array}\right.$$

şeklinde ifade edilir.

Örnek: $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin bazı ayrışımları:

$$\mathcal{A}_1=\{\mathbb{Z},\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\}$$

$$\mathcal{A}_2=\{(-\infty, 0), \{0\},(0,\infty)\}$$

$$\mathcal{A}_3=\{(-\infty, -1),[-1,1],(1,\infty)\}$$

$$\vdots$$

Her ayrışıma bir denklik bağıntısı, her denklik bağıntısına da bir ayrışım karşılık gelir.

Comments

Bir de cevabınızda yer alan son cümleye yönelik örnek verelim:

$A=\{1,2,3,4\}$ olsun. $A$'nın bir parçalanması $S=\{\{1,2\}, \{3\},\{4\}\}$'yi alalım. $A$ üzerinde $R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1), (3,3),(4,4)\}$ bağıntısı bir denklik bağıntısı tanımlar ve denklik sınıfları $[1]=[2]=\{1,2\}$, $[3]=\{3\}$, $[4]=\{4\}$ şeklindedir. $\{[1], [3], [4]\}$ $A$'nın bir parçalanmasıdır. Yani; denklik bağıntısı verildiğinde denklik sınıflarının oluşturduğu aile kümenin parçalanmasını verecektir.

---

Bir ilave de ben yapayım. $\mathcal{A}_2$ ayrışımına karşılık gelen $\mathbb{R}$ üzerindeki denklik bağıntısı $$\beta=\{(x,y)|\text{sgn } x=\text{sgn } y\}$$ olacaktır.

---

Böylesi daha iyi oldu. Bu arada kitaplar için çok teşekkür ediyorum.

---

Güle güle kullanın.