Kombinasyon

Question

$\left( \begin{matrix} n\\ n-3\end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n\\ n-5\end{matrix} \right)$ $=$ $56$ old. göre n kaçtır ?( cvp 7 miş nasil yapicaz yardim ederseniz sevinirim )

Comments

Cevap 7 doğru.

n! =(n-3)! (n-2)(n-1)n   ve

n!= (n-5)!(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n yazılabileceğini biliyorsun.

Kombinasyonları aç, paranteze al.

sol taraf  n(n-1)(n-2)/6  parantezine alınabilir.

Diğer çarpan 1+[(n-3)(n-4)/20}

---

C(n,3)+c(n,5) ile istenilen aynıdır, muhtemelen fark etmişssinizdir. denklem haillne getirdikten sonra, değer denemek mantıklı olabilir, sonuçta n bir doğal sayı ve düzenleme işi de uzun olabilir. İfadeler ardışık çarpımları içeriyor ve sayıların büyüklüğüne göre 2,3 deneme içerisinde bulabilirsiniz gibi. Bazen elde edilecek denklemlerin derecesi çok büyükken ve tamsayı çözümler aranıyorsa değer denemek yardımcı olabilir. kolay gelsin

Answer 1

Sadece analiz ile cozmeye calisalim:

$n\ge5$ olmali. $n=5,6$  bu esitligi saglamaz. 

ikinci olarak bunu $C(n,3)+C(n,5)$ olarak gorebiliriz ve $n \ge 7$ oldugundan bu sayi $> C(n,2)+C(n,2)=2C(n,2)$ olur. Bu da bize $C(n,2)$ degerinin $<28$ olmasi gerektigini verir. Yani $n \le 7$ olmali.

Son olarak $C(7,3)+C(7,5)=35+21=56$ oldugundan $n=7$ tek cozumu olur.

Answer 2

$$\binom{n}{n-3}+\binom{n}{n-5}=56$$

$$\frac{n.(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!.3!}+\frac{n.(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)!}{(n-5)!.5!}=56$$

$$\frac{n.(n-1)(n-2)}{6}+\frac{n.(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120}=56$$

$$20.n.(n-1)(n-2)+n.(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56.120$$

$$n.(n-1)(n-2)[20+(n-3)(n-4)]=56.120$$

$$n=7$$ olmalıdır.

Comments

Çok sağolun, teşekkürler.

---

Son $n=7$ oldugunu nasil cikardik?

---

Verilenlerden $n\geq 5$ olduğu açık.Ayrıca eşitliğin sağ tarafı $4.5.6.7.8$ olduğundan, $n=7$ için sol tarafın da $7.6.5.[20+4.3]=7.6.5.8.4$ olması sebebiyle. Elbetteki bu denklemin $5$ tane kökü vardır.