$n\in\mathbb N^+$ için $\frac{1}{2n}\le \frac{\sum_{k=0}^n\frac{1}{n+k}}{n}\le\frac{1}{n}$ olduğunu ispat ediniz.

Question

Ali Nesin Analiz-1 den alıntı ancak n=1 için sağlanmıyor gibi

$\frac{1}{2n}\le \frac{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+n}}{n}\le\frac{1}{n}$

Comments

Her sey pozitif zaten fotonyiyenadam. Her tarafi $n$ ile carparsan

$$\frac{1}{2} \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+k}  \leq 1$$ olmaz mi? Sonra da su ikisini kullan:

$$n+k \leq 2n \quad, \quad n \geq 1$$

---

Aynen abi, kitaptan aynen alıntı yaptıgım için onları da ekledim. 

Zaten çözüm sanırım,

n tane $1/n$'in toplamı ve


n tane $1/(2n)$  'in toplamları işi çözüyor

Answer 1

önce ifademizin her tarafını n   ile çarpalım  ve eşitsizlik içindeki ifadeyi $\delta(n) $ olarak belirtelim. Daha sonra $\frac{1}{2}\leq\delta(n)\leq1$ olarak belirtelim .

$n = k$ ve $n =k+1$ için doğruluklarını gösterelim .

  $\frac{1}{2}\leq\delta(k)\leq1$ için ifademizi doğru kabul edersek ve yine $k+1$ için  $\frac{1}{2}\leq\delta(k+1)\leq1$ eşitsizlik bu şeklide ise içerdeki toplamların açık hali düşünüldüğünde $\delta(k) - \frac{1}{k} $ +$\frac{1}{2k+1}$+$\frac{1}{2k+2}$ = $\delta(k+1)$ olduğunu görebliriz . Gerekli işlemler yapıldığında $\delta(k) - \frac{3k+2}{(k).(2k+1).(2k+2)}$ = $\delta(k+1)$ olarak buluruz .Sonuç olarak ifadeleri eşitsizlikte yerine yazarasak ve k nın 0 dan büyük olduğunu bildiğimize göre son durumda şu eşitsizliği elde ederiz : 

 $\frac{1}{2}\leq\ \delta(k) - \frac{3k+2}{(k).(2k+1).(2k+2)}\leq1$ 

buradan da k sınırlar içersindeyse k+1 in de sınırlar içersinde olduğu sonucunu çıkartabiliriz .