Teorem: 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n!=(n+1)!−1 olur.
İspat: n.n! ifadesini. n.n!=[(n+1).n!]−n!=(n+1)!−n! şeklinde yazabiliriz. Bu durumda, 1.1!=2!−1!, 2.2!=3!−2! olur.
Şimdi 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+5.5!+...+n.n! ifadesini az önce bulduğumuz eşitliğe göre düzenleyelim:
2!−1!+3!−2!+4!−3!+5!−4!+6!−5!+...+(n+1)!−n! elde edilir. Terimleri toplarsak,
2!−1!+3!−2!+4!−3!+5!−4!+6!−5!+...+(n+1)!−n!=(n+1)!−1 elde edilir.