Faktoriyel bazinda sayilar

Question

Bir dogal sayi $m$ i, bir $b$ bazinda , $a_i \in \{0, \cdots, m-1\}$ olmak uzere

$m = \sum_{i=0}^{k} a_i b^i$ seklinde yazabiliyoruz. Bu yazim biricik oluyor.
Bu toplama falan cok uzun is eskiden kagit  murekkep pahalliymis simdi de internet ucuz degil o yuzden ekonomik olup
$a_k \cdots a_0$ diye yazalim $m$ sayisini artik

Simdi sizden ispatlamanizi istedigim sey:

Bir dogal sayi $m$ i, $a_i \in \{0, \cdots, i \}$ olmak uzere

$m = \sum_{i=0}^{k} a_i i!$

seklinde yazabiliriz ve bu gosterim biriciktir.

Bu yeni sayi sisteminde toplama ve carpma algoritmasi nedir?
Asil merak ettigim sey ise bu sayi sistemi bizim standart sistemimize gore daha mi ekonomik ? Bilgisayariniz olmasaydi ve buyuk sayilarla hesaplama yapmak zorunda kalsaydiniz hangi sayi sistemi kagitte en az yer kaplar ?

Comments

Öncelikle onluk tabandaki bir sayıyı faktöryel tabanda çözümleyecek bir algoritmaya ihtiyacımız var. Sonrasında  toplama (ve çıkarma) işlemleri bildiğimize benzer bir şekilde yapılabilir sanırım : örneğin toplamada $a!$ ler basamağındaki en büyük çarpan $a$ olabileceğinden bu sayıyı aşan değer oluşmuşsa  bu değer $a+1$ e bölünerek tam kısım $(a+1)!$ ler basamağındaki çarpana eklenir, kalan ise $a!$ ler basamağında kalır.

---

Şunu da gözlemliyoruz:

$1!$ den sonraki faktöryeller çift olduğundan, çift sayıların faktöryel tabandaki çözümlemelerinde $1!$ in katsayısı $0$, tek sayıların çözümlemelerinde ise $1$ olmalı.

---

Bu sistemde sonsuz coklukta "rakam" a gereksinim var. Pek pratik görünmüyor bana.

---

Bir baz secip kullanmamiz gerek sembol sayisi ne kadar diye baksak bile, buyuk sayilar o bazda daha az sembolle ifade edilebiliyor. Hic pratik degil gercekten.
$n \cdot n !$ sanirim $c\cdot b^n$ den yavas buyuyor.

---

Sanirim istedigim seyi yapmak icin (buyuk dogal sayilari konvansiyonel ifadesine gore daha az "bit/sembol" kullanarak hesaplama gucunden bir sey kaybetmeden ifade etmek) 

1. Keyfi bir dogal sayiyi tercihen toplama seklinde biricik ifade eden bir formul bulmaliyim ( burada $\sum a_i i!$ i kullandik)
2. Tercihen bu biricik formulun atomik ifadesi ( su anki durumda $n\cdot n!$)   $b^n$ den daha hizli buyumeli [su an saglanmiyor bu durum]

---

Burada  faktöryel tabandaki "rakamları" veren bir algoritma anlatılıyor ve gösterimin biricikliğinden bahsediliyor. İşlem $10$ luk tabanı başka tabana çevirmeye yarayan işleme benziyor: Buna göre onluk tabanda verilen sayı önce $2$ e bölünüyor (orada $1$ e bölerek başlatmış, ben onu almadım), kalan $1!$ in katsayısı; bölüm $3$ e bölünüyor kalan $2!$ in katsayısı; bölüm $4$ e bölünüyor, kalan $5!$ in katsayısı ....  şeklinde ardışık sayılara bölme işlemine kalan bölenden küçük olana kadar devam ediliyor(bu noktadan sonra tüm rakamlar $0$ oluyor; yani sayımız sonlu iken "rakam" sayısı da sonlu aslında). Örneğin $$29!=1.1!+2.2!+0.3!+1.4!=1:2:0:1$$ şeklinde gösteriliyor.