Question

$p$ asalsa $\sqrt{p}\ \notin \mathbb{Q} $ dur. Kanıtlayınız.

Comments

$\sqrt2$ icin ispati biliyorsaniz, geneli de tamamen ayni.

---

aynen kok p=k/c alin oyleki k ve c aralarinda asal olsun kok p ile ilgili celiski bulun

---

$\sqrt{2}$ nin kanıtında $a^2$ çiftse $a$ nın çift olduğu önermesini kullanıyoruz. Peki $a^2$, $p$ nin katıysa $a$ da $p$ nin bir katı olur mu? Oluyor da kanıtı gerekmez mi? Bende burayı kanıtlayamadığım için soruyu sorma ihtiyacı duydum.

---

Simdi ispati biliyorsan kendin yapabilirsin anlaminda. Yani buradaki oncelikli amac sana cozdurmek olmali, basit ipuclari ile.

Simdi $a^2$ cift ise $a$ cift olmali yanlis. Bu zaten $a=\sqrt 2$ icin bile yanlis. Bunun dogru olmasi icin $a$'nin bir tam sayi olmasi gerekir.

Buradaki Safak'in cevabina bakarsan bunun ispati da var. Fakat sadece $\sqrt 2$'nin ispatini ogrenip gerisinin kendin denemen daha faydali olur.

---

Çiftlik teklik zaten tam sayılarda tanımlı bir kavramlar. Tam sayı olmayan bir sayının örneğin $\frac{1}{2}$ nin çiftliği ya da tekliğinden bahsedemeyiz. $\sqrt{2}$ nin kanıtına  hani $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ olsun diye başlanıp ebob(a,b)=1 varsayıp çelişkiye ulaşılıyor. Ben o $a$ dan bahsettim.

---

Teorem: $a$ bir tam sayı ve $p$ bir asal sayı olmak üzere; $a^2$, $p$'nin bir katı ise  $a$  da $p$'nin bir katıdır.

İspat: Diyelim ki $p\nmid a$($p$, $a$'yı tam bölemez) olsun. $p$ bir asal sayı olduğundan, $p\nmid a$ ise $p\nmid a.a$ olur. Şimdi  $a^2=a.a$  olduğunu biliyoruz, $p\nmid a.a=a^2$ olduğundan, $p$  asalı  $a^2$'yi tam bölemez. Dolayısıyla $a^2$, $p$'nin bir katı ise $a$ da $p$'nin bir katıdır.

---

$\sqrt{2}$'nin irrasyonelliğini gösterirken ispatın başında  $a$  ve  $b$'nin tam sayı olduğunu kabul ediyoruz. Bu sebeple, $a$ ve $b$  için tek ya da çift tanımını yapabiliyoruz.