Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
788 kez görüntülendi


Lisans Matematik kategorisinde (25 puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 788 kez görüntülendi

$\sqrt2$ icin ispati biliyorsaniz, geneli de tamamen ayni.

aynen kok p=k/c alin oyleki k ve c aralarinda asal olsun kok p ile ilgili celiski bulun

$\sqrt{2}$ nin kanıtında $a^2$ çiftse $a$ nın çift olduğu önermesini kullanıyoruz. Peki $a^2$, $p$ nin katıysa $a$ da $p$ nin bir katı olur mu? Oluyor da kanıtı gerekmez mi? Bende burayı kanıtlayamadığım için soruyu sorma ihtiyacı duydum.

Simdi ispati biliyorsan kendin yapabilirsin anlaminda. Yani buradaki oncelikli amac sana cozdurmek olmali, basit ipuclari ile.

Simdi $a^2$ cift ise $a$ cift olmali yanlis. Bu zaten $a=\sqrt 2$ icin bile yanlis. Bunun dogru olmasi icin $a$'nin bir tam sayi olmasi gerekir.

Buradaki Safak'in cevabina bakarsan bunun ispati da var. Fakat sadece $\sqrt 2$'nin ispatini ogrenip gerisinin kendin denemen daha faydali olur.

Çiftlik teklik zaten tam sayılarda tanımlı bir kavramlar. Tam sayı olmayan bir sayının örneğin $\frac{1}{2}$ nin çiftliği ya da tekliğinden bahsedemeyiz. $\sqrt{2}$ nin kanıtına  hani $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ olsun diye başlanıp ebob(a,b)=1 varsayıp çelişkiye ulaşılıyor. Ben o $a$ dan bahsettim.

Teorem: $a$ bir tam sayı ve $p$ bir asal sayı olmak üzere; $a^2$, $p$'nin bir katı ise  $a$  da $p$'nin bir katıdır.

İspat: Diyelim ki $p\nmid a$($p$, $a$'yı tam bölemez) olsun. $p$ bir asal sayı olduğundan, $p\nmid a$ ise $p\nmid a.a$ olur. Şimdi  $a^2=a.a$  olduğunu biliyoruz, $p\nmid a.a=a^2$ olduğundan, $p$  asalı  $a^2$'yi tam bölemez. Dolayısıyla $a^2$, $p$'nin bir katı ise $a$ da $p$'nin bir katıdır.

$\sqrt{2}$'nin irrasyonelliğini gösterirken ispatın başında  $a$  ve  $b$'nin tam sayı olduğunu kabul ediyoruz. Bu sebeple, $a$ ve $b$  için tek ya da çift tanımını yapabiliyoruz.

20,282 soru
21,821 cevap
73,503 yorum
2,529,571 kullanıcı