İç çarpım

Question

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektörleri için 

u.v=6

||u+v||+||u-v||=12

olduğuna göre

||u+v||=?

Answer 1

$\vec{u}=a\vec{e_1}+b\vec{e_2}$  ve $\vec{v}=c\vec{e_1}+d\vec{e_2}$ olsun.

$\vec{u}\vec{v}=ac+bd=6$ ve $\vec{u}+\vec{v}=(a+c)\vec{e_1}+(b+d)\vec{e_2}\Rightarrow ||\vec{u}+\vec{v}||=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ 

$\vec{u}-\vec{v}=(a-c)\vec{e_1}+(b-d)\vec{e_2}\Rightarrow ||\vec{u}-\vec{v}||=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$ olduklarından $||\vec{u}+\vec{v}||+  ||\vec{u}-\vec{v}|| =\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}+ \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$

$\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+12}+\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2-12}=12$ eşitliği elde ediir. Eğer $a^2+b^2+c^2+d^2=x$ denirse 

$\sqrt{x+12}+\sqrt{x-12}=12$ eşitliğinden $x=37$ olarak bulunur. Demek ki $||\vec{u}+\vec{v}||=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2+12}=\sqrt{37+12}=7$ olacaktır.

Answer 2

Karmasik ya da Gercel, ic carpimin nasil oldugundan bagimsiz (bu sonuc bilindik)  $$||u \pm v||^2 = <u\pm v,u\pm v>=<u,u\pm v> \pm <v,u \pm v>$$ $$=<u,u>\pm<u,v>\pm<v,u>+<v,v>$$ $$=<u,u>\pm<u,v>\pm\overline{<u,v>}+<v,v>=||u||+||u||\pm2Re(<x,y>)$$ oldugundan $$24=4Re(<u,v>)=||u+v||^2-||u-v||^2$$ $$=(||u+v||+||u-v||)(||u+v||-||u-v||)$$ $$=12(||u+v||-||u-v||)$$ olur.  Gerisi iki bilinmeyenli iki denklemi cozmekte.