Permütasyon gruplarında devir ve mertebe farkli şeyler mi

Question

mesela (34)(562) diyelim bu tarz kompozitlerde ne diyebiliriz. devir derken n-cycle vs deniliyor bazen onu kastediyorum

Comments

$n$-cycle demek, uzunluğu $n$ olan cycle (döngü) demek. Mesela $(12354)$ bir $5$-cycle. Bunun mertebesinin $5$ olduğunu göstermek de zor değil. Diyelim ki $S_7$'desin. Mertebenin $5$ olduğunu şöyle gösterebilirsin:

$$1234567 \\ \Downarrow \\ 2351467 \\ \Downarrow \\ 3542167 \\ \Downarrow \\ 5413267 \\ \Downarrow \\ 4125367 \\ \Downarrow  \\ 1234567$$ aralarda ne yaptığımı bilerek yazmadım ama permütasyon grubunun amacını anladıysan ne yaptığımı çözebilirsin. 

Ama elinde eğer $(34)(562)$ varsa, bu bir cycle değil. Bu cycle'ların çarpımı. Bir $2$-cycle ile $3$-cycle'ın çarpımı. Ama sonuçta yine grubun bir elemanı. Dolayısıyla bir mertebesi var. Bu durumda bu mertebe altı mesela. (Neden?)

---

Benim içinde  şu çok ilginç geliyor: $(12)(13)$ permutasyonu $S_{3}$ de $(2,2)$ devir tipinde ancak bu elemanın mertebesi $3$. 

---

Sayın @Ozgur. Yukarıda değindiğiniz,permütasyon grubu, $n-cycle$ ,bir $n-cycle$'ın mertebesi, $S_n$ kavramlarının tanımlarını tam olarak vermeniz mümkün mü acaba? Bir de mertebe gösterilmesindeki esas amacın ne olduğunu? Bana yeni olan bir konu olduğundan bunları sordum. Şimdiden teşekkürler. 

---

$S_n$ ya da $Sym_n$'den kasıt $n$ elemanlı bir kümenin permütasyonları grubu. Permütasyondan kasıt da $n$ elemanlı kümemizden $n$ elemanlı kümemize giden birebir ve örten fonksiyon. Yani bu elemanların yerini değiştiriyoruz sadece. Aslında tanımları vermek yerine, bir kaynağa yönlendireyim. Ali Nesin'in Temel Grup Teorisi kitabının üçüncü ünitesi Simetrik Gruba ayrılmış sadece. Aradığın bütün tanımlar orada mevcut. Kitaba da matematik köyünün web sitesinden erişilebiliyor, sol tarafta E-kütüphane başlığının altında, Cebir kitapları arasında.

---

Teşekkürler sayın Ozgur.