Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
786 kez görüntülendi
Matematik ÖABT seviyesine uygun bir problem sunalım:


Problem: $A= \{1, 2, \dots , 10\}$ olmak üzere $f:A \to A$ biçimindeki bir $f$ permütasyon fonksiyonunda $\underbrace {fofo \cdots of}_{ n \text { tane}}=I$ olmasını sağlayan en küçük $n$ pozitif tamsayısı en fazla kaç olabilir? (Burada $I$, $A$ kümesi üzerinde tanımlı birim fonksiyondur ve $o$, fonksiyonlardaki bileşke işlemini göstermektedir). 

$ \textbf{a)}\ 10 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 21 \qquad\textbf{d)}\ 30 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri} $
Lisans Matematik kategorisinde (1.2k puan) tarafından  | 786 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Soru (daha soyut şekli ile): $S_{10}$ grubundaki bir elemanın mertebesinin en çok kaç olur?

Şunları kullanacağız (Tüm permütasyon gruplarında doğru olan):

1. Her permütasyon ayrık devirlerin (tek şekilde, ama bunu gerek yok) çarpımı olarak yazılabilir. 

2. Her devirin mertebesi uzunluğuna eşittir.

3. Ayrık devirler (birbirleri ile) değişmelidir. 

4. (Her grupta) Değişmeli  iki elemanın çarpımının mertebesi, elemanların mertebelerinin en küçük ortak katından küçük veya eşittir (en küçük ortak katını böler).  Mertebeler aralarında asal ise çarpımın mertebesi mertebelerin çarpımına eşittir.

$f\in S_{10}$ olsun. $f$ yi ayrık devirlerin çarpımı (bileşkesi) olarak yazalım.

$f=f_1\circ f_2\circ \cdots\circ f_n$ ve $m_i\ (i=1,\ldots, n),\ f_i$ nin uzunluğu (ve mertebesi) olsun.

$m_1+m_2+\cdots+m_n\leq10$ (1 uzunluklu devirleri sayarsak eşit) olur. 

$f$ nin mertebesi$\leq m_1m_2\cdots m_n$ ($m_i$ ler ikişer ikişer aralarında asal ise eşit) olacaktır.

Biraz deneme ile $m_1=2,\ m_2=3,\ m_3=5$  için maksimum mertebe (30) elde edilir.

(Örneğin: $f=(1,2)(3,4,5)(6,7,8,9,10)$ için)

(5.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Asagidaki ornekler icin 36 elde edilebiliyor ama birsey mi kaciriyorum..  

$f=(1,2,3,4)(5,6,7)(8,9,10)$

$f=(1,2,3)(4,5,6)(7,8)(9,10)$

Bu örneklerde devirlerin uzunlukları aralarında asal değil.  Mertebeler aralarında asal değilse çarpılmıyor (değişmeli iki elemanın) çarpımın mertebesi en fazla çarpanların mertebelerinin ekok u kadar olabiliyor (ispatı kolay). 

Bu permütasyonların birincisinin mertebesi 12, ikincisinin mertebesi 6.

19,128 soru
21,043 cevap
69,911 yorum
23,458 kullanıcı