Binom Dağılımından Normal Dağılıma 1

Question

ÖABT (Öğretmenlik alan bilgisi testi) için kullanışlı olabilecek aşağıdaki alıştırma problemini paylaşmak istiyorum. Matematik öğretmenliği sınavlarında hesap makinesi kullanılmadığı için burada da herhangi bir hesap makinesi desteği alınmadan çözülmelidir. (Ayrıca yorucu bir cebirsel işlem yoktur.)

 

$\color{red}{\text{Soru (Lokman Gökçe):}}$ Standart normal dağılıma sahip $Z$ rassal değişkeni için bazı $z$ puanlarına ait $P(Z \leq z)$ olasılık değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

$\begin{array}{|c|c|} \hline z & P(Z \leq z) \\ \hline 0 & 0,5000 \\ \hline 0,5 & 0,6915 \\ \hline 1 & 0,8413 \\ \hline 1,5 & 0,9332 \\ \hline 2 & 0,9772 \\ \hline 2,5 & 0,9938 \\ \hline 3 & 0,9987 \\ \hline \end{array}$

Hilesiz bir zar $720$ kez atılıyor. Üst yüzüne en çok $105$ defa $3$ gelmesi olasılığı aşağıdakilerden hangisine daha yakındır?

$\textbf{a)}\ 0,0668 \qquad\textbf{b)}\ 0,0968 \qquad\textbf{c)}\ 0,1587 \qquad\textbf{d)}\ 0,1841 \qquad\textbf{e)}\ 0,2119$

Answer 1

Yanıt: $\boxed{A}$

 

Bu bir binom dağılımı olup $n=720$ deneme için, dağılım fonksiyonu normal dağılıma yaklaşır.
Zarın üst yüzüne $3$ gelmesi olasılığı $p=\dfrac{1}{6}$, $3$ gelmemesi olasılığı $q = \dfrac{5}{6}$
Beklenen değer $\mu = np = 720\cdot \dfrac{1}{6} = 120$
Varyans $\sigma^2 = npq = 720\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6} = 100$
Standart sapma $\sigma = \sqrt{100} = 10$

olur. Problemde istenen olasılık $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ olur. $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ z-puanı dönüşümünü kullanırsak $X=105$ için $Z=-1,5$ bulunur. Böylece istenen olasılık yaklaşık olarak $\text{N}(Z\leq -1,5)$ tir.

$\text{N}(Z\leq -1,5) = \text{N}(Z\geq 1,5) = 1 - \text{N}(Z\leq 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668$  elde edilir.

 

$\color{red}{\text{Not:}}$ $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6})$ için daha hassas bir hesaplama yapmak istersek $X=105,5$ düzeltme değerini kullanarak daha doğru bir sonuca ulaşabiliriz. Bu halde $\text{N}(Z\leq -1,45)$ değerine ihtiyaç vardır. Hesaplama programları veya z-cetveli kullanılarak $\text{N}(Z\leq -1,45) =  0,073529$ olur.

Öte yandan, problemin tam yanıtı için binom dağılımını kullanmalıyız. $\text{Binom}(X\leq 105, n=720, p=\frac{1}{6}) \approx 0,0717$ dir. $0,0668$ değeri, $0,0717$ gerçek değerine diğer seçeneklerden daha yakındır.