Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
579 kez görüntülendi

ÖABT için uygun olabilecek bir problem sunalım.

 

Soru [Lokman GÖKÇE]: Sierpinski üçgeni şu şekilde oluşturulur.

1. Adım: Bir eşkenar üçgen çiziniz.

2. Adım: Bu eşkenar üçgenin orta noktalarını kullanarak orta kısımda oluşan eşkenar üçgeni maviye boyayınız.

3. Adım: Boyalı olmayan üçgenlere 2. adımdaki işlemi tekrar ve tekrar uygulayınız.

Başlangıç üçgeninin alanı S olsun. Boyama işlemleri n defa uygulandığında, mavi boyalı kısmın toplam alanı Tn olsun. limnTnS değeri aşağıdakilerden hangisidir?

a) 34b) 1516c) 6364d) 255256e) 1


 

Lisans Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 579 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Problemin çözümünü paylaşabiliriz.

 

Yanıt: E

Çözüm:

Her adımda oluşan mavi üçgenlerin sayısı sırasıyla 1,3,32, şeklinde geometrik olarak artmaktadır. Ayrıca ardışık adımlarda oluşan üçgenlerin benzerlik oranı 12 olduğundan alanlar oranı da 14 olur. İlk boyalı alan A1=S4 tür. İkinci boyalı alanda 3 tane yeni üçgen oluştuğu için A2=3A14=3S16 olur. Genel olarak An+1=3An4 tür. Bu ise (An) nin, 34 ortak çarpanına sahip bir geometrik dizi olduğunu gösterir.

Tn=A1+A2+A3++An=S4+3S16+9S64++3n1S4n

olup sonsuz geometrik toplam formülünden

limn(Tn)=S41134=S

elde edilir. Böylece, limnTnS=SS=1 elde edilir.
(2.6k puan) tarafından 
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,864,871 kullanıcı